Математические модели в естественнонаучном образовании

 Охарактеризуйте возможное поведение этих

– матричных моделей с точки зрения знака и абсолютной величины собственных значений.

2. Модели Лесли и Ашера можно использовать для разработки методических рекомендаций, чтобы помочь сокращающимся популяциям восстановиться. Хорошо известным примером этого было исследование популяций морских черепах, которое выполнили Краус и его последователи в 1987 году. В проведённом исследовании с математической точностью обосновывалась необходимость использования специальных устройств для исключения попадания черепах в сети с креветками.

Подобное вмешательство может быть разработано таким образом, чтобы воздействовать на любой из элементов в матрице Лесли, моделирующей популяцию. Поскольку доминантное собственное значение матрицы определяет общую скорость роста, необходимо изучить, как изменения элементов в матрице, влияют на доминантное значение. Определение эффекта небольших изменений в каждом из элементов иногда называют анализом чувствительности. Представьте себе находящуюся под угрозой исчезновения популяцию, сгруппированную в незрелые и зрелые подгруппы и смоделированную моделью Ашера с матрицей

.

Проанализируйте влияние небольших изменений в каждом из ненулевых элементов матрицы на динамику развития популяции.

Рекомендации

 Каково доминирующее собственное значение модели? Как быстро популяция будет увеличиваться или сокращаться, если не будет внесено никаких изменений?

 Для матрицы

, какие значения

 дают значимую с прикладной точки зрения модель? Для различных значений

 в этом диапазоне вычислите доминирующее собственное значение

. Представьте результаты вычислений в виде таблицы и в виде графика функции

 от

. Для этого могут пригодиться следующие команды в MATLAB:

lambda1vec=[]

cvec=[0:.1:1]

for c=cvec

 A=[ 0 1.7;c .1]

 lambda1=max(eig(A))

 lambda1vec=[lambda1vec, lambda1]

end

plot(cvec, lambda1vec)

 Если уже прочитали следующий раздел, найдите формулу для

 как функцию от

? Согласуется ли график этой функции с тем, что изобразили ранее?

 Если стратегия активного вмешательства попытается изменить элемент

 в этой матрице, опишите в математических терминах, каким может получиться результат от таких действий. Какое значение параметра

 должно быть достигнуто, чтобы популяция восстановилась?

 Повторите анализ, чтобы понять влияние изменения других ненулевых элементов матрицы.

 Независимо от стоимости реализации любого плана восстановления популяции, какой элемент, по вашему мнению, было бы наиболее эффективно попытаться изменить? Решение каких вспомогательных задач может понадобиться для того, чтобы лучше понять динамику популяции и адекватно ответить на этот вопрос?

 Почему план изменения коэффициента рождаемости на небольшую величину может иметь затраты, отличные от затрат на реализацию плана по изменению коэффициента выживаемости?

 Выполните анализ чувствительности модели Лесли или Ашера, описанной произвольной матрицей большего размера.

2.4. Вычисление собственных векторов и собственных значений

Сначала покажем, как собственные векторы и собственные значения можно вычислять вручную для

– матриц.

Для любой наперёд заданной матрицы

, уравнение для нахождения собственного вектора этой матрицы, которое хотим решить, имеет вид

, где и вектор

, и скаляр

 неизвестны. Это уравнение можно переписать как:

,

,

.

Обратите внимание, в среднем уравнении появилась единичная матрица, чтобы вынесение общего множителя

 из каждого слагаемого стало возможным. Без единичной матрицы получилось бы

, что не имеет смысла, так как вычитание скаляра из матрицы не определено.

Теперь, если

 и

 действительно являются собственным вектором и его собственным значением, последнее уравнение показывает, что матрица

 не может иметь обратную. Ибо если бы это было так, то могли бы умножить каждую часть уравнения

 на обратную ей слева, чтобы получить

. Даже не зная, чему равна

, можно утверждать, что получится

, а это будет означать

. Но определение собственных векторов требует, чтобы они были ненулевыми,

, следовательно, полученной противоречие опровергает наше предположение об обратимости матрицы

.

Итак,

 не имеет обратной, тогда

 должен быть равен 0. Таким образом доказали, если

 является любым из собственных значений матрицы

, то оно должно удовлетворять уравнению

.

Пример. Для матрицы

, получаем

, и поэтому

 превращается в

, что равносильно уравнению

, решая которое получим

. Это означает, что единственными возможными собственными значениями для

 являются числа 1 и 0.98.

Уравнение

 называется характеристическим уравнением матрицы

. Для

– матрицы характеристическое уравнение всегда будет квадратным, поэтому решить его не составляет особого труда.

Хотя описанный выше метод и применим к матрицам большего порядка (при условии, что умеете вычислять определители больших матриц), решение характеристического уравнения может оказаться намного сложнее, потому что для

– матрицы оно содержит многочлен

– й степени. Для больших

 на практике применяются приближенные численные методы. Тем не менее, можно видеть, что найдется не более чем

 собственных значений, поскольку характеристическое уравнение может иметь не более

 корней. Комплексные числа тоже могут входить в список собственных значений, поскольку корни многочлена могут комплексными. Следовательно, справедлива теорема:

Теорема. Если

 является собственным значением для

– матрицы

, то оно удовлетворяет полиномиальному уравнению

– й степени

. Таким образом, для

 существует не более

 собственных значений.

После того, как определили возможные собственные значения матрицы, нужно найти соответствующие собственные векторы. Рассмотрим решение на примере

 и

. Нужно найти вектор

 такой, что

, поэтому предстоит решить матричное уравнение

,

.

Поскольку невозможно решить эту задачу через обратную матрицу (почему?), записываем два уравнения, представляя уравнение в нематричной форме:

В то время как очевидно ненулевое решение – угадать его не составило особого труда и это абсолютно правильный способ поведения в нестандартных ситуациях, для систем линейных уравнений существует развитая методика их решения. Так как одно из уравнений выражается через другое, предстоит найти решение одного

. Имея одно уравнение для двух неизвестных, можем взять одно из неизвестных в качестве свободной переменной, чтобы оно имело любое значение, которое нам нравится, и тогда определится второе. Например, если решать уравнение относительное

 выражаемого через

, получим

. Таким образом, любой вектор вида

 является собственным вектором с собственным значением 0.98.