Введём теперь понятия единичной матрица и обратных матриц. Рассмотрев подробно типы матриц, используемых в линейных популяционных моделях, вернемся к разработке некоторых математических инструментов для их понимания.
Предположим, что линейная модель популяции использует только два класса и, следовательно, имеет 2x2-матрицу перехода
. Если популяция в момент времени
задается вектором
, то вычисление популяций на следующем шаге времени просто требует умножения
.
Но представьте, что заинтересованы в вычислении популяций на предыдущем временном шаге. Если знаем
и
, как найти
? Другими словами, можно ли отматывать численность популяции назад во времени, если известна матрица
,
описывающая, как меняются значения при протекании времени вперед?
Если бы
был скаляром, а не матрицей, знали бы, как это сделать. Просто «разделили» бы с обеих частей уравнения
на
, чтобы решить его относительно
. Остаётся придумать, что значит «деление на матрицу».
Можно подумать об этом следующим образом: на что умножить обе части уравнения
с левой стороны, чтобы быть исчезло
в правой части? Предположим, существует матрица
такая, что после умножения на неё получается равенство
. Для избавления от
, нужно, чтобы результат матричного произведения
исчез из уравнения, как-то сократился. Очевидно, что
будет матрицей размерности
, и обойти это невозможно. Тем не менее, существует
– матрица специального вида, которая подходит на роль нейтрального по матричному умножению элемента.
Определение. Единичная
– матрица имеет вид
. В общем случае, единичная
– матрица – это квадратная матрица
, элементы главной диагонали которой равны 1, а все остальные элементы равны 0.
Обратите внимание, что в задаче 2.1.1. (в-г) такие матрицы были нейтральны по умножению, то есть вели себя как число 1 в обычной алгебре со скалярами. Умножение любого вектора на единичную матрицу с любой стороны оставляет этот вектор неизменным. Можно проверить, что для любой матрицы
имеют место равенства
.
Возвращаясь к попытке моделирования численности популяции при переходе назад во времени, получаем
, поэтому, если выбрать
так, чтобы
, то уравнение становится разрешимым:
. Другими словами, удастся решить уравнение относительно
, вычислив
.
Определение. Если
и
являются квадратными
– матрицами и
, то говорим, что
является обратной к
и используем обозначение
.
Не будем доказывать здесь, но можно показать, что для квадратных матриц если
, то
. Таким образом, если
является обратной для
, то
обратная для
.
Прежде чем научиться вычислить обратную матрицу, проанализируем, всегда ли такая матрица будет существовать. Например,
, поэтому
. С другой стороны, если
, то
необратима. Чтобы понять это, посмотрите на
. Невозможно заполнить пропущенные места в верхней строке левой матрицы
так, чтобы верхняя левый элемент первой строки в произведении оказался равен 1. Из-за нулевого столбца в
верхний левый элемент произведения всегда будет равным 0. Этот пример показывает, что некоторые матрицы необратимы.
Попытка найти обратную матрицу в общем случае даст больше понимания проблемы. Зададимся вопросом, чем заполнить матрицу в уравнении
.
Сосредоточившись на правом верхнем элементе произведения, легко получить там ноль, поместив
и
в верхнюю строку искомой матрицы. Чтобы получить ноль в нижнем левом элементе произведения, можно поставить
и
в нижнем ряду. Это приводит нас к равенству
. Теперь, чтобы получить 1 по диагонали, достаточно просто нужно разделить каждый элемент левой матрицы на
. Таким образом,
. Число
имеет специальное название:
Определение. Детерминантом (или определителем) квадратной матрицы
второго порядка называется число
, которое обозначается как
или
.
Формула для обращения квадратной матрицы второго порядка теперь выглядит следующим образом: если
, то
.
В общем случае обращение матрицы происходит по формуле
, то есть на определитель делится матрица, транспонированная к присоединённой. Транспонирование осуществляется путём замены строк матрицы её столбцами, а для нахождения
– элемента
– й строки
– го столбца в присоединённой матрице вычисляется алгебраическое дополнение к элементу
– й строки
– го столбца исходной матрицы. Алгебраическим дополнением элемента матрицы называется его минор, взятый со знаком
. А минором называется определитель матрицы, получаемой из исходной путём вычёркивания из неё
– й строки и
– го столбца.
Пример.
.
Поскольку не каждая матрица имеет обратную, невозможно найти универсальную формулу для обращение любой матрицы. Иногда что-то будет мешать. Глядя на формулу, видим, что она не имеет смысла, при
. На самом деле, не будем доказывать это, но если
, то
не имеет обратной. Другими словами, чтобы найти обратную матрицу 2 x 2, можем просто попытаться использовать вышеописанную формулу. Если формула неприменима, то матрица не имеет обратного. Резюмируем сказанное следующей теоремой.
Теорема. Квадратная матрица обратима тогда и только тогда, когда ее определитель не равен нулю.
Пример. Матрица
необратима, так как её определитель равен
.
Для матриц размерности 3 x 3 и выше, ручное вычисление обратной матрицы (если она существует) через детерминант очень громоздко. Несмотря на то, что задача алгоритмически разрешима и хорошо распараллеливается процесс вычисления по формулам обращения любой квадратной матрицы, они слишком сложны, чтобы быть полезными с практической точки зрения. Поэтому обратные матрицы обычно вычисляются с помощью другого метода, называемого методом Гаусса-Джордана, который преподается на курсах линейной алгебры. Для нужд математического моделирования громоздкие операции с большими матрицами выполняются средствами программного обеспечения, такого как MATLAB, чтобы ускорить вычисления.
Однако важно помнить, что не каждая матрица будет иметь обратную. Если попытаетесь вычислить значение, когда его не существует, MATLAB сообщит об этом. К счастью, большинство квадратных матриц обратимы. По этой причине необратимые матрицы называются особенными, сингулярными или вырожденными.
Вернемся к первоначальной проблеме нахождения обратной матрицы.
Пример. Для леса, моделируемого в разделе 2.1, предположим, что в момент времени
численность деревьев двух видов составляла
. Какова была их численность в момент времени
? Чтобы ответить на этот вопрос, зная о соотношении