Математические модели в естественнонаучном образовании

Задачи для самостоятельного решения:

2.2.1. Первый раздел настоящей главы начинается с двух примеров моделей популяции. Является ли каждая из них моделью Лесли? Является ли каждая из них моделью Ашера? Объясните, почему, описав форму матриц перехода для них.

2.2.2. В MATLAB создайте матрицу Лесли для модели численности населения, описанной с помощью команд

sd=[0.9966, 0.9983, 0.9979, 0.9968, 0.9961, …

0.9947, 0.9923, 0.9987, 0.9831]

P=diag(sd,-1)

P(1,:)=[0.0000, 0.0010, 0.0878, 0.3487, 0.4761, …

0.3377, 0.1833, 0.0761, 0.0174, 0.0010]

Для нескольких вариантов начальных значений популяции постройте графики популяции в течение следующих 10 временных шагов. Опишите свои наблюдения.

2.2.3. Без помощи компьютера найдите определители и обратные матрицы для следующих матриц

,

,

 при условии, что они существуют. Затем проверьте свои ответы с помощью компьютера. В MATLAB для поиска обратной матрицы и определителя матрицы

 используются команды

inv(A)

det(A)

2.2.4. При помощи компьютера найдите определители и обратные матрицы для

 и

 при условии, что они существуют. Убедитесь, что обратная матрица найдена верно, путём её умножения на исходную матрицу и получением в результате единичной матрицы.

2.2.5. Простая модель Ашера в пройденном параграфе описывает незрелые и зрелые группы, задаётся матрицей

.

а. Сколько рождений в среднем доступно каждому члену зрелой группы за один временной интервал?

б. На сколько процентов уменьшается численность каждой группы в каждом временном интервале?

в. Предполагая, что незрелые не способны размножаться с течением времени, каково значение верхнего левого элемента матрицы

?

г. Что означает левый нижний элемент матрицы

?

2.2.6. Для модели из предыдущей задачи:

а. Найдите

.

б. Пусть

, найдите

 и

.

2.2.7. Предположим, что структурированная популяционная модель имеет матрицу перехода

, которая обратима.

а. В чем смысл матрицы

? Если вектор численности популяции умножить на эту матрицу, то что получится? Если вектор численности популяции умножить на

, то что получится?

б. В чем смысл матрицы

? Если вектор численности популяции умножить на эту матрицу, то что получается?

в. Основываясь на ответах из частей (а) и (б), объясните, почему

 для любого положительного целого числа

. Эта матрица часто обозначается как

.

2.2.8. Модель, которую предложил Каллен в 1985 году, данные для которой собрали Неллис и Кит в 1976 году, описывает популяцию койотов. Динамика возрастных групп – щенок, сеголетка и взрослая особь – описывается матрицей

 c шаг времени 1 год. Объясните, каков смысл каждого элемента матрицы. Будьте внимательны при объяснении значения 0.11 в левом верхнем углу.

2.2.9. а. Покажите, что из

 не обязательно следует равенство

 вычислив

 и

 для

,

 и

.

б. Объясните, почему если

 и существует

, то

.

2.2.10. В отличие от скаляров, умножение которых коммутативно, для матриц как правило

. Вместо этого, если обратные значения существуют, то

.

а. Для

и

 , без использования компьютера вычислите

,

 и

 для проверки этих утверждений.

б. Выберите любые две другие обратимые 2 x 2 матрицы

 и

, и для них убедитесь в том, что

.

в. Выберите две обратимые матрицы 3 x 3 матриц

и

, и с помощью компьютера убедитесь, что

.

2.2.11. Тождество

 можно доказать разными способами.

а. Объясните, почему

. Почему это доказывает, что

?

б. Предположим, как и в первом разделе пройденной главы, что

 является матрицей перехода для популяции лесов в засушливый год, а

 – матрицей для влажного года. Затем, если первый год сухой, а второй влажный, имеем

. Как выразить

 через

? Как найти

 зная

? Объедините полученные результаты, чтобы объяснить, как найти

 через

. Как это доказывает, что

?

2.2.12. Пусть лес состоит из двух видов деревьев,

 и

. Каждый год

 числа деревьев вида

 заменяются деревьями вида

, в то время как

деревьев вида

 заменяются деревьями вида

. Численность остальных деревьев не меняется.

а. Пусть

 и

 обозначают количество деревьев каждого типа в год

. Выразите

 и

 через

 и

.

б. Запишите уравнения из пункта (а) в матричном виде.

в. Используйте пункт (б) для получения формулы, выражающей

 и

через

 и

.

г. Выразите

 и

 через

 и

 в матричной форме.

д. Предположим, что

 и

. Вычислите вручную

 и

 для

. Используйте MATLAB для самопроверки и продрожите счет до

. Что происходит с популяцией?