Математические модели в естественнонаучном образовании

Вопросы для самопроверки:

– Если бы данные были собраны, какое из чисел

, по вашему мнению, было бы самым большим? Какой из них будет самым маленьким? Как это может варьироваться в зависимости от того, какая конкретная популяция моделируется?

– Каковы разумные значения для

? Какие из них, вероятно, будут самыми большими? А какие будут наименьшими?

Конечно, можно улучшить модель, используя больше возрастных групп меньшей продолжительности, например, 5 лет или даже 1 год, и добавив дополнительные возрастные группы для тех, кто старше 75 лет. Для людей возрастные категории продолжительностью 15 лет слишком длинны для большой точности. Демографы часто используют 5-летние группы и отслеживают людей в возрасте до 85 лет, что приводит к матрице размером 17 x 17.

С улучшенной моделью матрица была бы больше, но она все равно имела бы ту же форму: верхний ряд имел бы информацию о плодовитости, ряд под диагональю имел бы ключевую информацию, а все остальные элементы равнялись бы нулю. Модель, матрица перехода которой имеет такую форму, называется моделью Лесли.

Пример. Модель Лесли, описывающую население США в 1964 году, сформулировали Кейфиц и Мерфи в 1967 году. Отслеживая только численность женщин и, следовательно, игнорируя рождение мужчин при расчете урочная рождаемости. Было использовано 10 возрастных групп продолжительностью по 5 лет каждая. Верхняя строка матрицы состояла из чисел (0.0000, 0.0010, 0.0878, 0.3487, 0.4761, 0.3377, 0.1833, 0.0761, 0.0174, 0.0010), в то время как под диагональю находились значения (0.9966, 0.9983, 0.9979, 0.9968, 0.9961, 0.9947, 0.9923, 0.9987, 0.9831).

Вопросы для самопроверки:

– Что означает тот факт, что первый элемент под диагональю меньше второго? Какие возможные объяснения этому?

– Почему седьмое число под диагональю может быть меньше, чем числа по обе стороны от него? Какую возрастную группу описывает это число?

– Почему разумно включать в эту модель только женщин в возрасте до 50 лет?

Следующая модель называется моделью Ашера. Эта модель является небольшой вариацией модели Лесли, в ней на диагонали могут лежать ненулевые значения. Например, вернёмся к вышеописанной 5x5-матричной модели, продолжая использовать 15-летние возрастные группы, но сделаем шаг времени равный 5 годам. В то время как некоторые люди из одной группы перейдут в следующую группу, другие останутся там, где они были. В результате получается матрица перехода следующего вида:

с параметрами

, описывающими нарушения развития

– той возрастной группы, часть которой остается прежней при переходе к следующему временному периоду. Обратите внимание, что значения записей

 и

 будут отличаться от тех, которые были выше в модели Лесли, так как размер приращения по времени был изменен.

Возможно, более естественным примером использования модели Ашера в математическом образовании является модель, основанная на трёх уровнях обучения, через которые проходит студент высшего учебного заведения. Например, для освоения физико-математической направленности, у студентов уходит по несколько лет на преодоления каждой стадии, а также может изменяться индивидуальная образовательная траектория, основанная на трехступенчатой модели с бакалавриатом, магистратурой и аспирантурой математического образования. Матрица Ашера, которая могла бы описать такую популяцию примет вид

.

Вопросы для самопроверки:

– Почему в этой матрице есть только один ненулевой параметр

?

Существуют и другие структурные модели популяции. Хотя модели Лести и Ашера являются естественными и достаточно общи для описания популяций, они не особо специфичны для задействования распространенных математических форм. Если матрица другого вида может лучше моделировать ситуацию, нет причин не воспользоваться ею.

Общеизвестен факт «дети цветы жизни». В качестве следующего примера рассмотрим растение, которому требуется несколько лет, чтобы созреть до стадии цветения, и которое не цветет каждый год после созревания плода. Кроме того, семена могут находиться в состоянии покоя в течение нескольких лет, прежде чем прорасти.

Такой жизненный цикл может хорошо моделироваться с использованием временных рядов и группирования. Пусть

 равно количеству посеянных семян в момент времени

,

 равно числу зрелых растений в момент времени

,

 равно числу цветущих растений в момент

, и наконец

 равно числу оставшихся зрелых растений, не цветущих в момент

.

При

 матрица перехода для данной модели может принять вид

Здесь параметр

 описывает зрелые растения, которые не цвели в течение одного сезона, переходя в класс цветущих на следующий год. Кроме того, есть два параметра, описывающих плодородие –

 описывает производство семян, которые не прорастают сразу, тогда как

 описывает производство саженцев через новые семена, которые прорастают к следующему временному шагу.

Вопросы для самопроверки:

– Какой параметр описывает семена, произведенные в предыдущие годы, которые снова не прорастают, но могут прорасти в будущем?

Пример. Для этой модели с конкретным выбором параметров, заданных матрицей перехода

 и начальным вектором популяции

, динамика популяции в течение последующих 12 временных шагов показаны на рисунке 2.2.

Время t

Рисунок 2.2. Численный эксперимент с моделью; в правой части графика классы расположены сверху вниз в порядке 1, 2, 3 и 4.

Видим четкую тенденцию роста размеров всех классов, с некоторыми вышележащими колебаниями, по крайней мере, в течение первых нескольких шагов. Более того, существует примерно постоянное соотношение между размерами классов после нескольких шагов.

Динамика, показанная на рисунке 2.2. также характерна для моделей Лесли и Ашера, независимо от количества задействованных классов. Как правило, существует доминирующая тенденция роста или упадка, хотя колебания меньшего масштаба также часто присутствуют. Доминирующая тенденция похожа на экспоненциальный рост или спад в мальтузианской модели. Однако классовая структура модели порождает и более сложное поведение.

Модель леса в разделе 2.1 является еще одним примером линейной модели, которая не является ни моделью Лесли, ни Ашера. Поскольку она отслеживает два типа деревьев, а не организмы, проходящие через свой жизненный цикл, матрица перехода имеет совершенно другую форму. Это пример марковской модели, идею которой разовьём далее в главе 4. Однако по рисунку 2.1 видно, что эта модель также показывает долгосрочную тенденцию, к равновесию. В следующем разделе разработаем средство извлечения информации об основных тенденциях, создаваемых любой линейной моделью.

При моделировании этапов какого-либо развития на примере модели Ашера или иной другой нужно учитывать ряд факторов. Понимание жизненного цикла моделируемой системы позволяется выбрать естественный набор классов. Однако трудности поиска хороших оценок параметров накладывают свои ограничения, поскольку если в модели используется избыточное число классов, то появляется и много лишних параметров. Использование очень маленьких возрастных групп или множества различных этапов теоретически должно привести к более точной модели. Тем не менее, это также потребует более подробного наблюдения, чтобы получить обоснованное уточнение параметрических значений.