Математические модели в естественнонаучном образовании

Конкретное разностное уравнение, обсуждаемое в этом разделе, иногда называют экспоненциальной или геометрической моделью, поскольку модель приводит к экспоненциальному росту и ассоциируется с именем Томаса Мальтуса. Математики, однако, склонны сосредотачиваться на форме уравнения

 и говорить, что модель линейна. Такая терминология может сбивать с толку, но она важна, когда линейная модель описывает экспоненциальный рост или убывание.

Задачи для самостоятельного решения:

1.1.1. Популяция изначально составляла 100 особей, но из-за комбинированного воздействия рождений и смертей она утраивается каждый час.

а. Составьте таблицу численности популяции для

 пробегающего значения от 0 до 5, где

 измеряется в часах.

б. Приведите два уравнения, моделирующих рост популяции, сначала путем выражения

 через

, а затем выразив

 через

.

в. Что можно сказать об уровнях рождаемости и смертности среди населения вашей страны? Земного шара?

1.1.2. На ранних стадиях развития в развивающихся странах открытие новых школ происходит с достаточно регулярной скоростью. Предположим, что количество школ удваивается примерно каждый месяц.

а. Запишите уравнение, моделирующее эту ситуацию. Уточнив, сколько реального времени представлено шагом 1 в параметре

 и каково было начальное количество школ в период новейшей истории.

б. Заполните таблицу и нарисуйте график числа школ в зависимости от

.

в. Сопоставьте полученные результаты с официальными данными Росстата. Это соответствует вашей модели? Какие выводы и/или вопросы это вызывает?

1.1.3. С помощью ручного калькулятора составьте таблицу значений численности населения выбирая

 в диапазоне от 0 до 6 для следующих моделей. Затем отобразите табличные значения на графике.

а.

,

б.

,

в.

,

1.1.4. Повторите решение задачи 1.1.3(а) с помощью MATLAB, введя последовательность команд, например:

p=1

x=p

p=1.3*p

x=[x p]

p=1.3*p

x=[x p]

…

Возврат к предыдущим командам для их повторения можно осуществлять нажатием клавиши "^". Объясните, как это работает. Теперь повторите решение с использованием цикла, например:

p=1

x=1

for i=1:10

p=1.3*p

x=[x p]

end

Отступ не является обязательным, но помогает сделать цикл for-end понятнее для чтения. Объясните, как это работает. Визуализируйте полученные данные на графике с помощью команды:

plot([0:10],x)

1.1.5. Для модели, указанной в задаче 1.1.3 а), сколько времени должно пройти, прежде чем популяция превысит 10, превысит 100 и превысит 1 000? Используйте MATLAB, чтобы вычислить это экспериментальным путём, а затем вычислите аналитически, используя логарифмирование и тот факт, что

. Обнаруживается ли закономерность в изменениях вычисленной продолжительности? Объясните, когда и почему значение стабилизируется.

1.1.6. Если бы данные в таблице 1.2 о численности докторов физико-математических наук были собраны по десятилетиям с момента основания института математики, соответствовали бы они геометрической модели? Будет ли численность соответствовать геометрической модели хотя бы в некотором временном интервале? Объясните наблюдаемое явление.

Таблица 1.2. Численность учёных в стране (сотни)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1,94 3,04 4,62 6,72 9,26 11,88 14,08 15,52 16,26 16,60 16,72

1.1.7. Заполните пропуски:

а. Модели

 и

 представляют растущие значения, когда

 – любое число в диапазоне _______, а

 – любое число в диапазоне _______.

б. Модели

 и

 представляют уменьшающиеся значения, когда

 – любое число в диапазоне _______, а

 – любое число в диапазоне _______.

в. Модели

 и

 представляют стабильные значения, когда

 – любое число в диапазоне _______ и когда

 – любое число в диапазоне _______.

1.1.8. Объясните, почему модель

 не может иметь смысла для описания численности популяции, когда

.

1.1.9. Предположим, что популяция описывается моделью

 и

. Найдите

 для

.

1.1.10. Говорят, что модель имеет устойчивое состояние или точку равновесия при

 если всякий раз, когда

, имеем

.

а. Перефразируйте определение следующим образом: модель имеет устойчивое состояние при

 если всякий раз, когда

, имеем

 .

б. Перефразируйте определение неформально: модель имеет устойчивое состояние

, если ___.

в. Может ли модель, описываемая равенством

 иметь устойчивое состояние? Объясните почему.

1.1.11. Объясните, почему модель

 приводит к формуле

.

1.1.12. Предположим, что на численность определенного населения влияют только рождение, смерть, иммиграция и эмиграция, каждая из которых происходит ежегодно в размере, прямо пропорциональном численности населения. То есть, если население составляет

, то в течение периода времени в 1 год число рождений составляет

, число смертей

, число иммигрантов равно

, а число эмигрантов равно

, для некоторых

,

,

 и

. Покажите, что популяция все еще может быть смоделирована равенством

 и выведите формулу для вычисления

.