Математические модели в естественнонаучном образовании

1.1.13. Как хорошо известно лимнологам и океанографам, количество солнечного света, проникающего на различные глубины воды, может сильно повлиять на численность живущих там организмов. Предположим, что вода имеет равномерную мутность, а количество обитателей на каждом метре в глубину пропорционально количеству поступающего света.

а. Объясните, почему это приводит к модели вида

, где

 обозначает количество света, проникшего на глубину

 метров.

б. В каком диапазоне должны находиться параметры этой модели, чтобы иметь физический смысл?

в. При

 и

 постройте график

 для

.

г. Применима ли аналогичная модель к фильтрации света через полог леса? Применимо ли там предположение о «равномерной мутности»?

1.1.14. В таблице 1.3 приведены данные о численности обучающихся физмат школ.

а. Изобразите данные на графике. Соответствуют ли эти данные геометрической модели роста? Объясните почему да или почему нет, используя графические и численные методы оценки. Можете ли придумать факторы, которые приведут к отклонению от геометрической модели?

б. Используя данные только за 1980 и 1985 годы для оценки скорости роста геометрической модели, посмотрите, насколько хорошо результаты модели согласуются с данными последующих лет.

в. Вместо того, чтобы просто использовать данные 1980 и 1985 годов для оценки показателя роста числа школьников, найдите способ использовать все данные, чтобы получить то, что (предположительно) должно быть лучшей геометрической моделью. Проявите творчество. Есть несколько разумных подходов. Соответствует ли ваша новая модель данным лучше, чем модель из части (б)?

Таблица 1.3. Оценки числа школьников

Год Численность школьников (в 1 000 человек)

1980 213,260

1985 231,658

1990 245,976

1995 254,504

2000 263,368

2005 263,952

2010 302,690

2015 328,602

2020 359,980

1.1.15. Предположим, что популяция моделируется уравнением

, где

 измеряется в единицах. Если решим измерить численность популяции в тысячах единиц, обозначив это число за

, то уравнение, моделирующее популяцию, могло измениться. Объясните, почему модель по-прежнему будет простой

. Подсказка: обратите внимание на то, что

.

1.1.16. В данной задаче исследуем, как изменится модель, если изменить количество времени, представленное приращением переменной

 на единицу. Важно отметить, что эта ситуация не всегда имеет биологический смысл. Например, для организмов, таких как многие насекомые, поколения не перекрываются. Дрозофилы не воспитывают себе преемников. Но время их размножения имеет регулярное распределение, поэтому использование приращения времени меньшее, чем промежуток между двумя последовательными временами рождения, было бы бессмысленным. Однако для более сложных организмов, таких как люди, с перекрывающимися поколениями и практически непрерывным размножением, нет естественного ограничения на выбор значения приращения времени. Таким образом, популяции иногда моделируются с «бесконечно малым» приращением времени (т.е. дифференциальными уравнениями, а не разностными). Эта ситуация иллюстрирует связь между двумя типами моделей: дискретная и континуальная.

Пусть популяция моделируется уравнением

,

, где каждое приращение

 на 1 представляет собой прохождение 1 года.

а. Предположим, что захотели создать новую модель для этой популяции, где каждое приращение

 на 1 представляет 0.5 лет, а численность популяции теперь обозначается

. При этом хотим, чтобы новая модель описывала те же популяции, что и первая модель, с интервалом в 1 год (таким образом,

). Следовательно, составляется таблица 1.4. Заполните строку

 в таблице так, чтобы рост был все еще геометрическим. Затем предложите уравнение модели, выражающее

 через

.

Таблица 1.4. Изменение временных шагов в модели

0 1 2 3

A 2А 4А 8А

0 1 2 3 4 5 6

< image l:href="#"/>

A 2А 4А 8А

б. Задайте новую модель, которая описывает

 с интервалом в 1 год, обозначив размер популяции за

, в которой приращение

 на 1 представляло бы 0.1 года (то есть

). Предлагается начать решение с создания таблицы, аналогичной таблице из части (a).

в. Предложите модель, которая согласуется с

 на интервале в 1 год, но описывает численность популяции

, где приращение t на 1 представляет собой h лет (таким образом,

). Очевидно, что

 может быть больше или меньше 1; та же формула опишет любую ситуацию.

г. Обобщите части (а–в). Объясните, почему, если исходная модель использует приращение времени 1 год и задается уравнением

, то модель, описывающая те же популяции с интервалом в 1 год, но использующая приращение времени

 лет, будет задана уравнением

.

д. Если теперь изменить обозначение временного интервала с

 на

, то пункт (г) показывает, что

. Если

 считать бесконечно малым, то получим

. Проиллюстрировать тот факт, что

 можно выбрав несколько значений

 при малом

 и сравнив значения

 с

. Этот результат легко доказать формально:

.

д. Докажите, что решением уравнения

 при начальном условии

 является

.

Как это согласуется с формулой для выражения

 через

 и

 в модели разностного уравнения

? Специалисты часто называют

 в каждой из выведенных выше формул «конечной скоростью роста», в то время как

 называется «собственной скоростью роста».

1.2. Нелинейные модели

Мальтузианская модель предсказывает, что рост числа обучаемых математиков будет экспоненциальным. Однако такое предсказание не может быть оставаться точным продолжительное время. Ведь экспоненциальные функции растут быстро и без ограничений; и, согласно такой модели, рано или поздно математиков окажется больше, чем количество атомов во Вселенной. Модель, разработанная в данном разделе, должна дополнительно учитывать какой-то важный фактор. Чтобы быть более реалистичными в моделировании, нужно пересмотреть предположения, которые вошли в модель.