По следам бесконечности

А когда мудрецу наскучила жизнь, он рассчитался с ней весьма оригинальным способом — прыгнул в кратер вулкана Этна.

Судя по всему столь странный поступок Эмпедокла непосредственно вытекал из его философского учения, согласно которому ничто в мире не возникает из ничего и ничто не пропадает бесследно, а следовательно, мир бесконечен во времени.

Этот сицилийский мудрец писал:

Но и другое тебе я поведаю: в мире сем тленном Нет никакого рожденья, как нет и губительной смерти. Есть лишь смешенье одно с размешеньем того, что смешалось, Что и зовут неразумно рождением темные люди. Глупые! Как близорука их мысль, коль они полагают, Будто действительно раньше не бывшее может возникнуть, Иль умереть и разрушиться может совсем то, что было. Ибо из вовсе не бывшего сущее стать не способно…

Но, пожалуй, самым большим оригиналом среди всех древнегреческих философов был Зенон Элейский (около 490 г. — 430 г. до н. э.), приемный сын и любимый ученик выдающегося мыслителя Парменида (конец VI века — V век до н. э.), человек, которому суждено было заложить подлинно научный фундамент исследования бесконечного.

Этому в немалой степени способствовало и доведенное у древних греков едва ли не до совершенства искусство спора. В публичных дискуссиях и состязаниях ораторов, где победа определялась прежде всего авторитетом логических доказательств и способностью убедить присутствующих, родилось и было отточено острое оружие: умение доказать свою правоту путем столкновения противоречивых доводов и посылок. Соперники изобретали впечатляющие аргументы, рассыпали перлы остроумия, старались подловить своего противника, заманить в ловушку, поставить его в безвыходное положение. Судьи тут же определяли победителя.

Да и сама греческая философия развивалась в условиях постоянных споров, острой полемики различных философских школ и направлений.

В отличие от Востока, где громадную, определяющую роль играла сила традиций и где мыслители и философы выступали в роли непогрешимых пророков, вещающих непререкаемые истины, греки выше всего ценили разум и были твердо убеждены в том, что все в мире может быть понято и исследовано с помощью чисто логических рассуждений и доказательств.

Благодаря этому греческие философы чувствовали себя во многом независимыми от предвзятых представлений об окружающем мире. Мысль их парила свободно и не страшилась даже таких утверждений, которые на первый взгляд могли показаться абсурдными.

Этот полет смелой мысли, а также приобретенная в бесчисленных спорах и диспутах привычка к парадоксальным рассуждениям и заключениям несомненно сыграли первостепенную роль в поразительных достижениях древнегреческой науки, в особенности математики, и, в частности, в изучении бесконечности.

За долгие годы занятий философией Зенон выработал в себе блестящую способность опровергать противника и посредством возражений ставить его в затруднительное положение, научился рассматривать один и тот же предмет с противоположных сторон.

— Без всестороннего и обстоятельного разыскания невозможно уразуметь истину, — говорил он.

Зенон обладал не только выдающимся умом, но и, пожалуй, лучше, чем кто бы то ни было, умел мыслить парадоксально — многие его рассуждения и заключения оказывались неожиданными даже для самых выдающихся мудрецов.

Эта удивительная способность к парадоксальным выводам и привела Зенона к его знаменитым апориям — одному из самых поразительных достижений человеческой мысли.

Во времена Зенона в древнегреческой математике и философии со всей остротой встал вопрос о свойствах пространства и времени, теснейшим образом связанный с представлениями о конечном и бесконечном. Вопрос ставился так: можно ли и до каких пор осуществлять процесс делимости тела, пространства и времени? Завершится ли когда-либо такой процесс или он будет продолжаться беспредельно?

Одна из первых концепций бесконечности была выдвинута выдающимся философом-материалистом Анаксагором (около 500 г. — 428 г. до н. э.), известным своей непримиримой борьбой с мистикой и религией.

Началом всего сущего Анаксагор считал «гомеомерии» — бесконечное число элементов материи. Их сочетания дают все многообразие вещей.

Процесс деления тела бесконечен, утверждал он, и потому нет смысла говорить о его конечном результате. Следовательно, не существует наименьших неделимых частиц. Число частиц, из которых состоит данная вещь, всегда можно увеличить.

«И в малом ведь нет наименьшего, по всегда есть меньшее. Ибо бытие не может разрешиться в небытие, но и в отношении к большому есть большее. И оно равно малому по количеству. Сама же по себе каждая вещь и велика и мала».

Следовательно, бесконечное существует в обе стороны. Это была первая математическая формулировка понятия бесконечно большого и бесконечно малого как возможности увеличения сверх любой заданной величины и возможности неограниченного деления.

Но если пространственные элементы и промежутки времени можно делить без конца, то пространство и время непрерывны.

Наряду с концепцией Анаксагора существовала и другая, противоположная концепция, одним из родоначальников которой был Демокрит (около 460 г. — 370 г. до н. э.), — учение о «неделимых», мельчайших частях линий, поверхностей и тел. Демокрит признавал бесконечность Вселенной и числа атомов во Вселенной. Но считал, что тело нельзя делить бесконечно, а лишь до неделимых атомов. С помощью этой теории Демокриту удалось решить несколько очень трудных математических задач — например, найти выражение для объема пирамиды.

Но поскольку в распоряжении древних греков не было никаких экспериментальных фактов, по которым можно было бы судить о действительных свойствах реального пространства и реального времени, споры между сторонниками Анаксагора и Демокрита были в то время довольно беспредметными.

Величайшая заслуга Зенона состоит в том, что он впервые показал: и та и другая концепция ведут к глубоким противоречиям и парадоксам.

Парадокс — утверждение, которое непосредственно вытекает из привычных представлений или существующих научных теорий, но тем не менее вступает в противоречие о ними самими.

Именно такие парадоксальные следствия учения о бесконечной делимости пространства и обнаружил Зенон…Быстроногий Ахиллес хочет догнать медленно ползущую черепаху. Но пока он пробежит разделяющее их расстояние, черепаха тоже проползет немного вперед. И Ахиллесу придется теперь преодолевать это дополнительное расстояние. Но пока он сделает ото, черепаха вновь уйдет вперед — и так до бесконечности. Значит, несмотря на то, что Ахиллес передвигается намного быстрее черепахи, он все равно никогда не может ее догнать. Или, другими словами, будет догонять ее бесконечно длительное время.

Этим парадоксом Зенон показал, что предположение о бесконечной делимости пространства приводит к противоречию с реальным фактом движения.

Вместе с этой апорией Зенон сформулировал и еще одну — под названием «Дихотомия». Если черепаха после сигнала к старту не сдвинется с места, Ахиллес все равно ее не догонит. Ведь прежде чем преодолеть все расстояние, он должен преодолеть его четверть. И так далее… И поскольку процесс деления пополам никогда не может окончиться, Ахиллес вообще не сдвинется с места.