Пространство, время и движение. Величайшие идеи Вселенной

Сохранение импульса

Мыслитель Иоанн Филопон, который жил в VI веке в Александрии, предположил, что тетива придает стреле некую величину: импульс, как ее позже назвали. Именно импульс, рассеиваясь, некоторое время поддерживает полет. Простое предположение, которое стало важным шагом на пути от «будущих целей» Аристотеля к свойствам, которые существуют в конкретный момент времени.

Идею Филопона развил Ибн Сина (Авиценна), персидский эрудит XI века. Именно он сделал решающий шаг, утверждая, что импульс — не просто временная величина. Каждый объект обладает определенным импульсом, который остается постоянным, пока на объект не подействует некая сила. У неподвижных тел импульс равен нулю.

В этой новой картине мира камни и чашки перестают двигаться не потому, что покой — их естественное состояние, а так как воздействующие на них силы (трение, сопротивление воздуха) постепенно уменьшают импульс, ранее сообщенный этим объектам. Ибн Сина предположил, что в отсутствие воздуха стрела полетит с постоянной скоростью и будет двигаться бесконечно долго. Крайне смелые мысли для того времени. Однако сегодня мы строим ракеты, скорость которых в космосе почти не меняется (если не считать небольших потерь от воздействия гравитации). В XIV веке французский философ Жан Буридан ввел математическую формулу, согласно которой импульс равен весу объекта, умноженному на его скорость.

Так появился один из законов физики: о сохранении импульса. В дальнейшем от грубой идеи о неизменности некоторого «количества движения» ученые пришли к точному пониманию того, что это за количество. Такой подход — обычное дело в теоретической физике: мы предлагаем новую величину, находим формулу для ее вычисления, а затем смотрим на то, как она, эта формула, согласуется с тем, что мы видим в реальном мире. Сегодня мы знаем, что импульс на самом деле — масса, умноженная на вектор скорости (по крайней мере, если не принимать в расчет теорию относительности, которая несколько все усложняет).

Одна из проблем придуманной Буриданом формулы (вес, умноженный на скорость) состоит в том, что вес не является собственным свойством объекта, так как зависит от действующей на него силы тяжести. На Луне человек весит меньше, чем на Земле, а на космическом корабле, на пути от планеты к планете, совсем не имеет веса. Поэтому нам нужна масса — свойство, которое, грубо говоря, показывает сопротивление объекта ускоряющему воздействию. Чтобы разогнать тяжелый и легкий объекты до одинаковой скорости, нужно приложить разные усилия: чем больше масса, тем больше сила.

Кроме того, следует различать скорость и вектор скорости. В первом случае это просто число, сколько-то метров в секунду. Вектор же показывает не только величину (которая фактически соответствует его длине), но и направление. Если одна машина едет на север, а другая на юг, и обе они проезжают 90 километров за час, мы можем сказать, что скорости их одинаковы, а направления — отличаются. Соответственно, разными будут и векторы скорости.

Когда мы хотим показать, что какая-то величина является векторной, мы ставим над ее символом стрелочку:

. Если же нас интересует только количественное значение (длина вектора), мы используем тот же символ, но без стрелочки. Иными словами, длина вектора

— это просто v.

Такое обозначение имеет смысл: мы часто представляем векторную величину, буквально рисуя стрелку, которая указывает в направлении вектора, а по длине пропорциональна его величине. Кроме того, вектор можно разложить на компоненты — векторы, которые направлены в определенные стороны и образуют в сумме исходный вектор. Если вы движетесь точно на север, то компоненты скорости, направленные на запад или восток, равны нулю.

Складывать векторы очень просто. Нужно совместить начало одного вектора с концом другого, а затем нарисовать вектор, соединяющий начало второго вектора с концом первого. Как будто мы прошли сначала по одному из исходных векторов, а затем — по второму. Если исходные векторы направлены (почти) в одну сторону, длина их суммы будет (почти) равна сумме их длин. Если же они направлены в (почти) противоположные стороны, то результирующий вектор будет намного короче.

Буридан и его предшественники не знали о векторах: их придумали в XIX веке. Среди тех, кто это сделал, — немецкий математик Август Фердинанд Мёбиус [1] (который знаменит «лентой Мёбиуса»), ирландский математик Уильям Роуэн Гамильтон, немецкий эрудит Герман Грассман и английский математик Оливер Хевисайд. Так что на правильное определение импульса ушло немало времени.

В наши дни вектор импульса обычно обозначается буквой

(от его латинского названия — petere). В итоге формула импульса — одна из самых простых в мире — выглядит так:

1

Здесь и в дальнейшем я буду писать букву ё в именах и фамилиях, чтобы вы знали, как правильно их произносить.

(1.1)

Наше первое официальное уравнение. Вектор импульса направлен в ту же сторону, что и вектор скорости, а его длина пропорциональна ее величине. Пропорциональность станет для нас крайне важным понятием. Оно означает, что кратное изменение одной величины влечет за собой кратное изменение другой. Если удвоить скорость, удвоится и импульс. Постоянное число, которое связывает такие величины, называется «коэффициентом пропорциональности». В некоторых уравнениях он может быть не совсем постоянным, но в данном случае это так: он равен массе объекта.

Преимущества даже такого простого уравнения очевидны. Мы не просто говорим, что импульс какого-то объекта равен произведению его массы на скорость. Мы заявляем, что существует универсальное соотношение между импульсом, массой и скоростью, которое справедливо всегда, для любого объекта. Когда мы дойдем до теории относительности, кое-какие из ранее пройденных формул придется «подправить». Но основные принципы останутся прежними.

В этом уравнении нет «причинности». Это жесткая связь между величинами, которую можно прочесть как слева направо, так и справа налево. Мы можем выполнять с ним любые операции, но только одинаковые для обеих сторон. Например, если разделить их на m, мы получим

. «Если я знаю скорость объекта, то, умножив ее на массу, я получу импульс». «Если я знаю импульс, то, разделив его на массу, я получу скорость». Эти высказывания равносильны.

Удары и толчки

Сила закона сохранения импульса выходит далеко за рамки идеи о том, что отдельный объект, на который не действуют силы, будет двигаться с постоянной скоростью. Гораздо важнее, что сохраняется суммарный импульс всех объектов, которые образуют некую систему.

Представьте себе два объекта, которые движутся без каких-либо действующих на них сил: например, два бильярдных шара на столе без трения. (Что будет идеализацией, но физики это любят.) Сначала они катятся по прямым линиям, затем сталкиваются и расходятся по новым прямым линиям.