Пространство, время и движение. Величайшие идеи Вселенной

Важный шаг вперед сделал голландский физик Христиан Гюйгенс. Проведем простой опыт: привяжем к камню веревку и будем крутить его над головой. Чтобы камень не улетел, а описывал круги, придется крепко держать веревку. Гюйгенс нашел формулу для расчета «центростремительной силы», которую нам нужно приложить. (Еще он предложил волновую теорию света, изобрел маятниковые часы и открыл спутник Сатурна Титан. Бурное было время.) Конечно, веревка и камень лишь отдаленно показывают движение планет, но общее сходство имеется.

В 1660 году в Англии появилось Королевское общество, и вскоре в его состав вошли экспериментатор Роберт Гук, архитектор Кристофер Рен и молодой астроном Эдмунд Галлей, которые впоследствии стали друзьями. В одной из прочитанных обществу лекций Гук заявил, что движение планет можно объяснить силой тяготения Солнца, которая уменьшается с расстоянием и отклоняет планеты от прямолинейных траекторий. Однако Гук не был знатоком математики и не смог довести свою идею до ума. Вместе с Галлеем и Реном Гук много времени проводил в кофейнях (популярное новшество того времени) за обсуждением этих вопросов. К 1684 году друзья поняли, что третий закон Кеплера можно выразить с помощью формулы центростремительной силы Гюйгенса, если принять, что сила тяготения Солнца подчиняется закону обратных квадратов. Например, если одна планета в три раза дальше другой от Солнца, то воздействующая на нее сила будет в девять раз меньше той, что воздействует на вторую планету. Однако Гук и компания не смогли доказать, что орбиты планет под таким воздействием будут иметь форму эллипса.

Ньютон и его законы

Рен хорошо потрудился, проектируя собор Святого Павла и ряд других зданий, и был, возможно, самым богатым из трех друзей. Он предложил награду тому, кто сможет вывести формулу орбиты с учетом закона обратных квадратов. Уже в то время все знали, что самый умный на земле — Исаак Ньютон, который жил тогда в Кембридже и сторонился больших компаний. Однажды Галлей набрался смелости и приехал к нему. Ньютон принял Галлея любезно, и тот завел разговор об орбитах и гравитации. Ньютон сразу же заявил, что получится эллипс. Несколько ошеломленный Галлей спросил, почему он так в этом уверен. Ньютон ответил: «Я его вычислил».

Увы, мы не знаем, как именно он это сделал. Известно лишь, что Галлей попросил Ньютона изложить расчет на бумаге, после чего написал небольшую статью и представил ее Королевскому обществу. Однако статья оказалась не слишком подробной, и Галлей вновь обратился к великому физику с просьбой расширить ее. Ньютон с энтузиазмом начал работу. Восемнадцать месяцев спустя он создал «Математические начала натуральной философии» (Philosophiae Naturalis Principia Mathematica), сокращенно — «Начала», книгу, что оказала, быть может, самое большое влияние на развитие современной науки.

В «Началах» описывалась новая система классической механики, которая считалась неоспоримой в течение трех веков. Помимо этого автор предложил закон всемирного тяготения, вывел законы Кеплера из базовых принципов, а также представил первые азы того, что сейчас известно как дифференциальное исчисление. Ньютон далеко продвинулся в этом вопросе, но опасался, что новые методы еще недостаточно совершенны и вызовут возражения. Поэтому он не решился в полную силу использовать их в «Началах». Независимо от него к похожим идеям пришел Лейбниц. Именно его обозначения используются в современной математике. Ньютон много и горячо спорил с Лейбницем по этому поводу, а с Гуком о законе обратных квадратов — Ньютон вообще любил много и горячо спорить.

Классическая механика — это не просто теория о каком-то определенном физическом явлении. Это система, всестороннее описание устройства нашего мира, которое до прихода квантовой физики принимали за истину практически все ученые. Мы говорили о том, как множество очень умных людей веками пытались понять, что такое импульс, сила и движение. Ньютон, тщательно все осмыслив, показал то, что представлялось в ту пору верным ответом. Как сказал знаменитый космолог Рокки Колб (Rocky Kolb): «Чтобы сравниться с Ньютоном, братьям Райт пришлось бы не просто построить первый в мире самолет, а сделать что-то похожее на современный лайнер и полететь на нем из Калифорнии прямо в Нью-Йорк». [5]

5

Рокки Колб. «Blind watchers of the sky. The people and Ideas That Shaped Our View of the Universe» (Basic Books, 1997), с. 134.

Так что же на самом деле сказал Ньютон? Погружение в классическую механику ждет нас в следующей главе. Пока же добавим к движению планет еще два важных понятия.

Первое из них — ускорение. Если объект в своем естественном состоянии движется по прямой с постоянной скоростью, ускорение служит мерой отклонения от этого состояния, то есть показывает, как изменяется скорость объекта. Как и скорость, ускорение представляет собой вектор, так как имеет определенное направление. Согласно второму закону Ньютона, самой известной формуле классической механики, ускорение пропорционально результирующей действующих на объект сил. Коэффициентом пропорциональности служит масса объекта:

(2.1)

Первый закон Ньютона утверждает, что в отсутствие внешних сил скорость объекта остается неизменной, а третий — что тела воздействуют друг на друга с равными силами, которые направлены в противоположные стороны. Чаще всего на объект действует сразу несколько сил, поэтому мы можем сложить их и получить единую, равнодействующую силу, которая и определяет ускорение. (Поскольку вектор — это длина и направление, две большие, но действующие друг против друга силы в сумме дадут очень маленькую.) Разделив обе части уравнения (2.1) на m, получим формулу для расчета ускорения:

.

Второе понятие — закон всемирного тяготения — не что иное, как окончательный вариант закона обратных квадратов, о котором говорили Гук и его друзья. Заслуга Ньютона в том, что новый закон полностью универсален: он объясняет и движение планет, и падение яблок на землю. Для нас эти вещи кажутся очевидными, но в те времена отыскать связь между космосом и фруктовым садом было огромным шагом вперед.

Рассмотрим два небесных объекта с массами m1 и m2, удаленные друг от друга на расстояние r. Примем за

«единичный вектор» длиной 1 (неважно, в каких единицах), направленный от объекта 2 к объекту 1. Ньютон говорит, что сила притяжения объекта 1, воздействующая на объект 2, будет равна

(2.2)

Число G — гравитационная постоянная, которая определяет величину силы тяготения. С точки зрения объекта 2 объект 1 является источником гравитации — физического свойства, создающего силу, — и наоборот.

Это уравнение немного сложнее предыдущих, но если сесть и подумать о нем, мы снова увидим пропорциональность двух векторов: силы

, с которой объект 1 воздействует на объект 2, и единичного вектора

, который направлен от объекта 2 к объекту 1. Сложный вид уравнения объясняется тем, что коэффициент пропорциональности представляет собой произведение гравитационной постоянной, двух масс и обратного квадрата расстояния. В результате мы можем точно определить, как сильно Солнце воздействует на планеты: чем ближе к нему, тем сильнее.

При помощи двух простых правил — второго закона (2.1) и закона всемирного тяготения (2.2) — Ньютону удалось воспроизвести все законы Кеплера. Более того, он показал, что сила тяготения сферического объекта в точности равна силе тяготения точки, обладающей такой же массой и расположенной в его центре. Поэтому, если мы принимаем модель, в которой планеты и Солнце — большие шары, мы с тем же успехом можем считать их точками. Кроме того, можно усложнить эту модель: рассматривать не обособленные пары из Солнца и одной планеты, а целиком всю Солнечную систему. Благодаря законам Ньютона мы можем понять, как на движение других планет влияет, к примеру, Юпитер (самая большая планета). Именно так небесная механика стала столь точной наукой, что позволяет нам отправлять на Луну ракеты.