Пространство, время и движение. Величайшие идеи Вселенной

Обозначим начальные импульсы двух шаров как

и

, а конечные — как

и

. Тогда закон сохранения импульса для них можно записать так:

(1.2)

Очевидно, что после столкновения импульсы шаров изменяются. Однако суммарный импульс остается неизменным.

Импульс сохраняется всегда. Простим наших предков за то, что они не сразу заметили это. Вспомните чашку Аристотеля, которая движется лишь тогда, когда кто-то перемещает ее по столу. Кажется, что импульс не сохраняется, ведь скорость чашки меняется с нуля до какой-то величины. Однако на самом деле на чашку воздействует рука человека, который своим весом давит на стул, на котором сидит, а тот, в свою очередь, опирается на пол и так далее, до самой Земли. Поэтому изменение импульса чашки точно компенсируется изменением импульса системы «человек, стул и Земля». Мы не замечаем этого, ведь масса чашки очень мала по сравнению с массой человека, и его скорость изменится неизмеримо мало (хотя все равно изменится). Как только человек отпустит чашку, произойдут обратные изменения скорости: импульс чашки уменьшится до нуля, а человек, напротив, приобретет небольшой импульс.

В фильме «Гравитация» есть сцена, в которой Сандра Буллок и Джордж Клуни попали в беду и летят за пределами станции, держась за привязанный к ней трос. (Предупреждаю о спойлерах в этом и следующем абзацах.) Хороший во всех отношениях фильм, но с физикой в этой сцене большие проблемы. Чтобы спасти Сандру, Джордж жертвует собой, отцепляясь от троса. В реальности все они находятся на практически одинаковой высоте от Земли, а значит, не действует никаких сил, отталкивающих их от станции. Чтобы вернуться туда, достаточно было немного дернуть за трос.

В фильмах нередко слегка искажают законы природы в угоду хорошей истории. А почему бы и нет? Но тут перегиб совершенно напрасный. Можно было бы даже повысить градус драматургии, полностью убрав трос. Представьте: Сандра и Джордж рука об руку медленно отдаляются от станции. Ничто их не держит, их общий импульс неизменен и направлен в открытый космос, к неизбежной гибели. Единственный шанс спастись — оттолкнуться друг от друга. Сумма импульсов останется прежней, но только один космонавт полетит к станции, а другой — все так же в космос, но только быстрее. Тут могут быть варианты: кто-то пожертвует собой, спасая коллегу, либо наоборот, обречет его на смерть, спасая себя. Но это был бы уже совсем иной фильм.

Классическая механика

На долгом пути к обретению знаний об импульсах люди не только открыли закон, который важен и по сей день, но и по-новому стали смотреть на физику. Исчез предложенный Аристотелем телеологический мир внутренних сущностей, причин и следствий, а также движения, требующего движущей силы. На смену ему пришел мир закономерностей, законов физики. И после важных открытий, сделанных Декартом, Галилеем и другими учеными, появилась первая полноценная система физических законов. Созданная Исааком Ньютоном в 1687 году, сегодня она известна как классическая механика.

Важно уточнить, что современные физики проводят различие между «классической механикой» — довольно широкой и универсальной системой законов — и «механикой Ньютона» — одной из конкретных моделей в этой системе. Классическая механика (в отличие, например, от механики квантовой) утверждает, что мир состоит из объектов, которые обладают определенными измеримыми свойствами и подчиняются однозначным уравнениям движения. Механика Ньютона рассматривает эти объекты в абсолютном пространстве и времени. В отличие от нее «релятивистская механика», которая также является классической, основана на том, что пространство и время представляют собой единое целое. Пока мы не начнем разговор о теории относительности, все уравнения для таких понятий, как импульс и энергия, мы будем брать из механики Ньютона.

Чтобы совсем вас запутать, добавлю, что есть еще механика Лагранжа и механика Гамильтона. Обе они, безусловно, являются классическими. И обе математически эквивалентны механике Ньютона, хоть и основаны на других понятиях. Считать ли их чем-то отличным от механики Ньютона или же нет — дело вкуса.

Классическая механика — это теория закономерностей, а не природы или причинно-следственных связей. Вместо «Какое состояние естественно для системы?» или «Почему система движется именно так?» мы спрашиваем: «Что происходит с системой в конкретный момент времени?». Полученный ответ дает возможность сделать прогноз на любой другой момент, причем не только в будущем, но и в прошлом. Вот, например, уравнение (1.2) (закон сохранения импульса) можно рассматривать применительно к прошлому: если мы знаем конечный суммарный импульс, мы можем утверждать, что он равен начальному, то есть не изменился.

Мы подошли к еще одному, гораздо более важному закону сохранения: сохранения информации, на котором по сути построена классическая механика Ньютона. Однако популярность среди ученых этот закон приобрел в 1814 году благодаря трудам Пьера-Симона Лапласа. По мнению этого математика из Франции, состояние классической системы в любой момент времени определяется положением и скоростью всех ее частей (например, Солнца и планет). Этот объем информации сохраняется с течением времени. По одному состоянию системы мы можем предсказать любые другие состояния, как в будущем, так и в прошлом. Разумеется, при наличии точных данных и мощных вычислительных систем. Лаплас представил себе «сверхразум», гипотетическое существо с такими возможностями, которое затем назвали демоном Лапласа. Разумеется, главный смысл этой идеи не в том, что кто-то может быть способен на такие предсказания, а в том, что мы должны стремиться к этому. Никто не может знать положение и скорость каждого атома в песчинке, тем более — во всей вселенной. Но у самой вселенной такие данные есть, и по законам классической механики они сохраняются во времени.

Сохранение энергии

Настало время поговорить о сохранении энергии, одном из самых известных законов классической механики и любопытном примере развития физических понятий. В отличие от импульса, величины векторной, энергия объекта — это просто число («скаляр», как иногда говорят, чтобы подчеркнуть отличие от векторов и других, более сложных величин). Энергия не имеет направления и может проявляться в разных формах. Одна из них — кинетическая энергия, энергия движения, — связана с импульсом. Формула [2] кинетической энергии объекта с массой m и скоростью v выглядит так:

2

Почему 1/2? На то есть причина, но чтобы ее понять, потребуется дифференциальное исчисление, знакомство с которым нам еще предстоит. Немного забегая вперед, скажу, что когда мы воздействуем на объект, накопленная им энергия будет равна интегралу силы по расстоянию. Согласно второму закону Ньютона, сила равна произведению массы на ускорение. Ускорение — это производная скорости по времени, а интеграл ускорения по расстоянию равен интегралу скорости по скорости. При этом . Возможно, сейчас все кажется бессмыслицей. Наберитесь терпения.

(1.3)

В классической механике сохраняются и импульс, и энергия. Однако кинетическая энергия сама по себе не сохраняется, поскольку может переходить в другие формы энергии (или возникать из них). При стрельбе из лука энергия, накопленная при натяжении тетивы, переходит в кинетическую энергию стрелы.

В простых обстоятельствах мы можем напрямую проследить, как энергия переходит из одной формы в другую. Физики любят приводить в пример шар, который катится по холму, где, как мы представляем, нет ни трения, ни сопротивления воздуха. Поднятый на высоту, шар обладает потенциальной энергией. На высоте h она будет равна:

(1.4)

Здесь m — масса шара, а g — ускорение, обусловленное силой тяжести вблизи поверхности Земли (или другой планеты, где проводится эксперимент). Численно g ? 9,8 метра в секунду за секунду, то есть скорость падающего предмета (без учета сопротивления воздуха) каждую секунду увеличивается на 9,8 метра в секунду. Таким было бы ускорение, даже если бы не было холма.

Когда шар катится с холма, его суммарная энергия Е_{кинетич.} + Е_{потенц.} остается постоянной. При этом энергия переходит из одной формы в другую. Например, если шар поместить на склон, он покатится вниз. Его кинетическая энергия будет расти ровно настолько, насколько потенциальная энергия — уменьшаться.

Легко увидеть, как потенциальная и кинетическая энергии превращаются друг в друга. Другие формы энергии менее очевидны. Мы уже говорили о бильярдных шарах. Физики любят, когда они движутся по поверхности без трения, а при столкновении не издают звука, не выделяют тепла. При этом импульс и кинетическая энергия шаров полностью сохраняются: они просто отскакивают друг от друга. Такие столкновения называются упругими (возможно, вам говорили о таких на уроках физики).