Пространство, время и движение. Величайшие идеи Вселенной

R = gµ?Rµ?. (8.17)

Суммирование по µ и ? в правой части полностью устраняет свободные импульсы. Поэтому при умножении на метрику gµ? можно получить отдельный симметричный двухиндексный тензор, построенный на основе метрики и ее производных. Затем, как это сделал Эйнштейн в ноябре 1915 года, можно попробовать отыскать сочетание Rµ? и Rgµ?, которое обладает нужными свойствами, то есть остается пропорциональным Tµ? без нарушения закона сохранения энергии. Существует единственно верный ответ, который сегодня называется уравнением Эйнштейна:

(8.18)

В левой части находится тензор Эйнштейна. Можно придумать для него новый символ, но выражение и само по себе несложно: это тензор Риччи и скаляр кривизны. Это окончательная форма уравнения поля в общей теории относительности, в котором представил его Эйнштейн на докладе Прусской академии наук 25 ноября 1915 года. [26]

Физик Джон Уилер сформулировал общую теорию относительности так: «Пространство говорит материи, как двигаться, материя же говорит пространству, как искривляться». Первая половина этой фразы означает, что свободные частицы движутся по геодезическим линиям, а несвободные частицы (на которые действует отличная от гравитации сила) отклоняются от них примерно так же, как в механике Ньютона они отклоняются от прямых, двигаясь с ускорением. Вторую половину фразы обеспечивает уравнение Эйнштейна: решив его, можно узнать, какой будет метрика пространства-времени в любой интересующей нас ситуации. В итоге это уравнение правильно предсказало эволюцию Вселенной, существование черных дыр, распространение гравитационных волн и другие явления, о которых Эйнштейн в свое время даже и не догадывался. В этом и заключается сила хорошей научной теории: она знает гораздо больше, чем те, кто ее придумал.

26

Можно сделать еще кое-что: добавить слагаемое, пропорциональное самой метрике ?gµ?, где ? (иногда называемая лямбда-член) — константа. Эйнштейн додумался до этого в 1917 году и назвал ? космологической постоянной. Существование ненулевой космологической постоянной было окончательно подтверждено в 1998 году, когда астрономы открыли ускорение вселенной. Однако измеренное значение ? настолько мало, что им можно пренебречь. Если, конечно, вы не занимаетесь космологией.

В записанное нами уравнение Эйнштейна входит не просто какой-то странный коэффициент пропорциональности, а 8?G, где G — гравитационная постоянная, как и в законе всемирного тяготения Ньютона. Эту величину нельзя найти путем умозаключений или согласования с законами сохранения: нужны данные экспериментов. Для этого Эйнштейн рассмотрел «предел слабого поля», в котором гравитация почти не проявляется, а пространство-время почти, но все-таки не совсем плоское. В этих условиях хорошо сформулированная теория гравитации должна воспроизводить закон обратных квадратов Ньютона, для чего константа в выражении (8.18) должна быть равна 8?G. Удивительно, что уравнение, константа в котором получена путем наблюдений за падением яблок и движением планет, блестящим образом показывает, что было в первые минуты после Большого взрыва.

Принцип действия

В главах 3 и 4 мы рассмотрели несколько равносильных формулировок классической физики, предложенных Ньютоном, Лагранжем и Гамильтоном. Общая теория относительности — также классическая, а потому не следует удивляться тому, что ее уравнения могут быть выведены разными, но эквивалентными способами. Пойдем по пути Лагранжа и вспомним принцип наименьшего действия, который, как оказалось, очень удобен для осмысления релятивистских теорий, поскольку естественным образом уравнивает в правах пространство и время.

В прошлый раз, рассматривая этот принцип, мы говорили о частице, которая в точке x движется со скоростью v = dx/dt. Мы определили лагранжиан L как функцию, зависящую от x и ? и равную разности кинетической и потенциальной энергий. Действие — это интеграл лагранжиана по времени:

(8.19)

Из всех возможных путей из начальной точки в конечную реальная частица выберет такой, на котором действие сведется к минимуму.

Теперь ситуация немного другая. Вместо частицы, занимающей какое-то положение в пространстве, мы будем говорить о динамике метрического тензора. Общая теория относительности — это пример теории поля, поскольку тензор gµv(t, xi), в отличие от такой частицы, — поле, которое имеет значение в каждой точке пространства-времени. Рассмотрим особую функцию

, которая называется плотностью Лагранжа. Чтобы найти лагранжиан, нужно проинтегрировать ее по всему пространству:

(8.20)

Обозначение d3x = dx1dx2dx3 указывает на то, что интеграл берется по всем трем измерениям пространства. Интегрируя функцию пространства-времени (плотность Лагранжа) по пространству, мы получаем функцию времени (собственно лагранжиан). Действие будет равно интегралу

по времени, или, что то же самое, интегралу

по пространству-времени:

(8.21)

Давайте представим себе, что еще не знаем уравнение Эйнштейна. Попробуем вывести его из принципа наименьшего действия. Задача понятна: нам нужно определить плотность Лагранжа L. Она должна состоять из метрики и ее производных (так же, как плотность Лагранжа простой частицы состоит из ее положения и его производных, а именно скорости). Хорошая новость в том, что мы ищем скалярную функцию: тензор с нулем индексов, а не с двумя, как в левой части выражения (8.14). Это существенно облегчит нашу работу.

Фактически такая функция только одна: это скаляр кривизны Риччи R. И так как других вариантов для нашей метрики, в общем-то, нет, можно записать, что

. Для правильной работы сил гравитации в формулу нужно включить гравитационную постоянную G. Кроме того, нам потребуется плотность Лагранжа для материи. Мы не можем сказать, чему она равна, поскольку это зависит от типа материи. В результате получим такое выражение:

(8.22)

Вот и все. Мы определили действие, которое сводит к минимуму метрику пространства-времени. Как можно заметить, оно соответствует уравнению Эйнштейна (8.18). Правда, для простоты мы опустили одну деталь: в искривленном пространстве-времени «пространственный элемент» выглядит несколько необычно. И чтобы помнить об этом, мы записали его как

[27] , а не просто d4x.

Вдумайтесь, насколько прекрасен этот подход. Предложить правильный вариант скалярной плотности Лагранжа гораздо проще, чем подобрать тензор для уравнения Эйнштейна, а наш любимый закон сохранения энергии соблюдается автоматически, без всяких усилий или проверок с нашей стороны. Разумеется, чтобы верно истолковать принцип наименьшего действия, а затем проделать все нужные выкладки (которые здесь мы, естественно, не приводим) и получить уравнение Эйнштейна, требуется сильный математик.

27

Если вам непременно хочется это знать, пространственный элемент , где g — определитель метрического тензора.

Эйнштейн, конечно же, был очень силен в математике, а его коллега Давид Гильберт — один из величайших математиков начала XX века — еще сильнее. («Пространство Гильберта» — одно из важнейших понятий общей теории относительности.) Летом 1915 года, незадолго до того, как было выведено знаменитое уравнение, Гильберт предложил Эйнштейну прочитать несколько лекций в Гёттингенском университете. Ученые много говорили об искривленном пространстве-времени. Эйнштейн даже гостил у Гильберта, а когда вернулся в Берлин, продолжил переписку с ним. В результате они практически одновременно пришли к уравнению (8.18): Эйнштейн — методом проб и ошибок, а Гильберт — посредством математических ухищрений.