Пространство, время и движение. Величайшие идеи Вселенной

Девять. Черные дыры

Уравнение Эйнштейна для общей теории относительности вмещает в себя огромное количество информации. Спасибо хитроумным обозначениям. Уравнение призвано определить метрику пространства-времени, gµv(x), но записано в терминах тензора Риччи, построенного на базе тензора кривизны Римана. Все эти тензоры, конечно, определяются в терминах метрики, но если бы мы записали эту зависимость во всей ее красе, мы получили бы кучу слагаемых: формула заняла бы целую страницу.

Сам Эйнштейн был так впечатлен или даже напуган сложностью своего детища, что делал прогнозы о результатах экспериментов при помощи различных аппроксимаций, прежде всего ньютоновского предела. Даже в упрощенных ситуациях уравнение было слишком сложным для точного решения.

Это не остановило Карла Шварцшильда, опытного физика и астронома, который в 1915 году, во время Первой мировой войны, служил в немецкой армии. Он побывал на французском и русском фронтах, рассчитывая траектории снарядов. Как-то во время отпуска ему удалось посетить одну из лекций Эйнштейна в Прусской академии, и он увлекся общей теорией относительности. Вернувшись в воинскую часть в конце декабря 1915 года, Шварцшильд написал Эйнштейну письмо, в котором привел первое точное решение его уравнения: метрику пространства-времени вне сферической планеты или звезды. К сожалению, на фронте Шварцшильд заразился редким кожным заболеванием, от которого и умер спустя полгода в возрасте сорока двух лет. Физикам потребовались десятилетия, чтобы смириться с ошеломляющим непредвиденным следствием его открытия: черными дырами, которые должны существовать, если верить общей теории относительности.

Решение Шварцшильда

Шварцшильд пытался найти аналог закона обратных квадратов Ньютона, который действует в Солнечной системе. В общей теории относительности этот процесс сводится к решению уравнения Эйнштейна для метрики пустого пространства вокруг изолированного сферического тела, такого как Солнце. Именно геодезические метрики позволяют нам судить о планетных орбитах, отклонении света и других следствиях общей теории относительности. Возможно, было бы достаточно лишь показать решение Шварцшильда во всей его красе, после чего приступить к обсуждению выводов, которые можно сделать на его основе. И все-таки гораздо интереснее пройти весь путь вслед за Шварцшильдом, проследить его основные вехи, продемонстрировать, как физики-теоретики решают схожие проблемы.

Мы знаем, что метрика плоского пространства-времени Минковского в декартовых координатах (t, x, y, z) имеет вид:

(9.1)

Как и раньше, мы опускаем нулевые внедиагональные элементы, но помним о них.

В метрике искривленного пространства-времени некоторые (или, возможно, все) элементы gµ? будут функциями некоторых (или, возможно, всех) координат. Похоже, что скоро все станет ужасно сложным. Но нам поможет тот факт, что интересная нам физическая система (пространство вне сферического тела) должна быть сферически симметричной. В практическом смысле нам следует ожидать, что метрика будет зависеть от расстояния от начала координат,

, а не от x, y или z по отдельности.

Поэтому прежде всего нам следует перейти из декартовой системы координат (x, y, z) к сферической (r, ?, ?). Мы уже знаем метрику плоского пространства Евклида в этих координатах: выражение (7.12). Несложно перейти от него к метрике пространства-времени Минковского с координатами (t, r, ?, ?):

(9.2)

Мы просто заменили пространственную часть метрики новой, зависящей от сферических координат. Обратите внимание: мы все еще говорим о плоском пространстве-времени Минковского, в котором нет гравитации. Мы просто привели метрику к виду, с которого нам удобно начать решение задачи.

В сферической системе координат нам нужно выяснить лишь то, как метрика зависит от радиальной координаты r, так как зависимость от угловых координат (?, ?) четко определяется сферической симметрией. Выходит, что метрика вообще не будет зависеть от ?, а ? будет влиять на нее через множитель (sin ?)2 в правом нижнем элементе g??. Есть и другие упрощения. Одно из них заключается в том, что мы ищем статическое решение, то есть считаем пространство-время полностью неизменным во времени. Поэтому элементы метрики не будут зависеть от t. Также для простоты мы пока что не будем использовать внедиагональные элементы: пусть они остаются нулевыми.

Вас могут озадачить все эти догадки. Такой подход действительно кажется ненаучным, но речь ведь идет о решении уравнения, так что попытка предугадать результат вполне законна. Мы стремимся найти не все решения уравнения Эйнштейна, а лишь одно из них, описывающее конкретный случай. В конце концов, если догадки позволят нам отыскать подходящие тензоры Римана и Риччи, любые ухищрения, к которым мы прибегнем для этого, перестанут иметь значение.

И наконец, внимательно глядя на выражение (9.2), подумаем о том, что говорят нам коэффициенты r2. Они показывают, что физические расстояния в угловых направлениях пропорциональны квадрату радиуса. И в этом скрыта хитрая особенность общей теории относительности: выбор системы координат и поиск метрики в ней — не две задачи, которые мы решаем одну за другой, а два параллельных процесса. Координаты не имеют никакого смысла, пока его не придаст им метрика, тогда как ее элементы имеют смысл лишь в какой-то системе координат.

Следовательно, мы можем просто заявить, что «r2» есть, по определению, «величина, входящая в состав угловых элементов g?? и g?? метрического тензора», а r, в свою очередь, есть такое число, при котором площадь произвольной сферы равна A = 4?r2, а длина произвольной окружности — C = 2?r. При этом нам не потребуется решать задачу в общем виде, то есть считать элементы метрики какими-то произвольными функциями. Мы сразу будем полагать, что g?? = r2, а g?? = r2(sin?)2, как уже и значится в выражении (9.2). Кроме того, в статических, сферически симметричных условиях r будет иметь какое-то фиксированное значение [28] .

28

Такой выбор означает, что r не обязательно (или, как выясняется, фактически) будет расстоянием от начала координат. Это какая-то другая физическая величина, и мы не знаем наперед, как она связана с расстоянием, измеренным относительно сферы того или иного радиуса. Мы можем взять сначала какое-то одно значение, а после посмотреть, что будет при другом. Площадь же сферы и длина окружности определяются чисто геометрически, так как мы в принципе говорим о сферах.

В итоге мы получаем метрику следующей формы:

(9.3)

Неплохо. Хитроумные, но чисто интуитивные догадки привели нас к довольно простой метрике, в которой неизвестны всего две функции одной переменной: A(r) и B(r).

Увы, хитроумие нам больше ничем не поможет. С этого момента нам, а фактически Шварцшильду, придется смириться с судьбой и вычислить сначала тензор Римана, а затем тензор Риччи. Здесь мы опустим всю эту математику, направив интересующихся к приложению Б, в котором описаны все нужные инструменты. Всем остальным просто сообщаю, что найти все члены левой части уравнения Эйнштейна возможно. Полученные выражения будут зависеть от A(r) и B(r), а также их производных по r.

Теперь нужно определить, что происходит в правой части уравнения Эйнштейна, то есть подумать о тензоре энергии-импульса. И здесь нас ждет хорошая новость: мы ищем метрику пространства-времени вне обладающего гравитацией тела, а это значит, что пространство пусто, а Tµ? = 0. По-настоящему сложные вещи творятся внутри этого тела, но в нашем случае пространство-время лишь искривляется рядом с ним.

Шварцшильд проделал все эти расчеты, которые показались ему несложными (что и неудивительно для человека с таким высоким уровнем интеллекта). И вот как в итоге выглядят функции A(r) и B(r):

(9.4)

Другими словами, полная метрика Шварцшильда имеет вид:

(9.5)

Или в форме линейного элемента:

(9.6)

Великолепно, не правда ли? Мы получили точное решение уравнения Эйнштейна для пустого сферически симметричного пространства. Более того, путем искусных математических построений можно показать, что то, к чему мы пришли наполовину путем догадок, на самом деле единственно возможная метрика, при которой уравнение Эйнштейна выполняется в данных условиях. Вы можете возразить: а как же метрика Минковского? Ведь это еще одно возможное решение. Действительно, это так. Но метрика Минковского лишь частный случай решения Шварцшильда: достаточно подставить M = 0 в выражение (9.5) или (9.6).