Пространство, время и движение. Величайшие идеи Вселенной
Шрифт:
На случай, если вы вдруг преисполнитесь сил заняться решением уравнений, которые мы обсуждали, в этом приложении мы рассмотрим наиболее часто встречащиеся функции и операции с ними.
Несколько слов об обозначениях. Мы часто используем буквы из конца алфавита (например, x, y и z) в качестве переменных — величин, которые нам неизвестны и которые нужно найти. Начальные буквы алфавита (например, a, b и c) обычно обозначают константы — некоторые определенные значения. Буквы f, g и им подобные традиционно используются для функций, отображающих одну переменную на другую. Едва ли не в каждой книге встречаются формулы типа f(x) = ax + b, где x — переменная, a
Все это, конечно, просто традиция. Никто не запрещает использовать любые буквы. К тому же мы скоро исчерпаем латинский алфавит и будем вынуждены прибегнуть к греческому.
Определенные и неопределенные интегралы
Во время знакомства с интегралами в главе 2 мы упустили одну важную деталь: интеграл представляет собой площадь под кривой. Но это имеет смысл только в том случае, если мы указываем начало и конец области, площадь которой мы ищем. Поэтому различают определенные интегралы, для которых начальная и конечная точки заданы, и неопределенные, для которых они не указываются.
Пусть F(x) — интеграл некоей функции f(x), то есть:
(A.1)
Это и есть неопределенный интеграл. На самом деле мы упускаем здесь одну важную вещь. Поскольку начальная и конечная точки не указаны, мы не можем получить точное значение интеграла. Поэтому, строго говоря, мы должны были бы добавить к этому выражению произвольную постоянную С (то есть написать «F(x) + C») [31] . Однако часто этот факт считается очевидным для читателя, и произвольная постоянная опускается. В большинстве случаев в этой книге под словами «интеграл функции» понимается именно неопределенный интеграл.
31
Пришел как-то математик в бар для физиков и встретил там старого друга, физика-теоретика. Взяли по пиву, разговорились.
— У нас тут все знатоки математики, — похвастался физик, — даже официантки.
— Не может такого быть, — засомневался математик и подозвал ближайшую. — Скажите, девушка, чему равняется интеграл от икс-квадрат по дэ-икс?
— Одна треть икс-куб, — сообщила та, не задумываясь.
— Вот видите, коллега, — обрадовался физик, — а вы сомневались.
— Ступайте, девушка, вам незачет, — грустно сказал математик. — Как же можно было забыть про плюс це?
Для определенных интегралов начальная и конечная точки указываются начальная под знаком, а конечная — над ним:
(A.2)
Таким образом, определенный интеграл — это разность между значениями неопределенного интеграла в конечной и начальной точках. Давайте посмотрим, как это работает.
Постоянные функции
Рассмотрим очень простую функцию, а именно постоянную: f(x) = c. Тут особенно не о чем говорить, но с чего-то же надо начать. У постоянной функции наклон отсутствует, а значит, производная, без всяких сомнений, равна нулю:
(A.3)
Неопределенный интеграл будет пропорционален x:
(A.4)
Это означает, что определенный интеграл будет пропорционален расстоянию между начальной и конечной точками:
(A.5)
В этом легко убедиться, посмотрев на следующий рисунок. Здесь c = 2, a = 1, а b = 3. Площадь под кривой составляет 2 x (3–1) = 4, чего и следовало ожидать.
В
формуле (A.5) скобки показывают, что число c умножается на разность b — a, а не то, что b — a — аргумент функции с, как x в выражении f(x). Обозначения одинаковы, но смысл разный. Предполагается, что читатель понимает его из контекста.Линейные комбинации
В математике суммы, похожие на af(x) + bg(x), где a и b — константы, называются линейными комбинациями функций f(x) и g(x). При этом слово «линейная» означает, что каждая из функций входит в выражение только один раз и только в первой степени. Умножение и возведение в другие степени — операции нелинейные.
Интегрирование и дифференцирование — линейные операции, то есть производная линейной комбинации равна линейной комбинации производных. То же самое касается и интегралов. Для производных имеем:
(A.6)
Для интегралов:
(A.7)
То же самое (разумеется) происходит и в случаях, когда второго слагаемого нет, то есть мы ищем производную либо интеграл от af(x). В таких случаях мы «выносим константу за знак производной (или интеграла)». А так как мы интегрируем по x (на что указывает обозначение dx), мы можем считать константой все, что не зависит от x, даже если речь идет о функциях других переменных: ?f(x)g(y)dx = g(y)?f(x)dx.
Произведения
Поговорим о произведении двух функций, f(x)g(x). Мы будем опускать (x) и писать fg: так будет понятней. В таких случаях используется простая, но не слишком интуитивная формула:
(A.8)
То есть у нас «сумма произведения первой функции на производную второй и произведения второй функции на производную первой». Это так называемое правило Лейбница (про которого мы уже не раз говорили).
Именно потому, что есть вот такая симпатичная формула, математики и считают взятие производных «легким» процессом. Почти все интересующие нас функции можно представить (может быть, рекурсивно) в виде суммы или произведения других функций. Правило Лейбница подразумевает, что производные большинства функций могут быть в явном виде выражены через другие функции (или, как мы говорим, «в замкнутой форме»).
Казалось бы, по аналогии с производными должна существовать столь же красивая формула для интегралов. Но, к сожалению, это не так. Интегрировать трудно и в теории, и на практике.
Степени
Переходя от общих принципов к конкретным функциям, мы часто сталкиваемся с переменной x, возведенной в степень a: xa. При этом переменная называется основанием, а число а — показателем степени. (Эти функции следует отличать от экспонент, где какая-то постоянная возводится в степень переменной. Мы поговорим о них позже.) Если a — целое положительное число, то xa равно x, умноженному само на себя а раз. Но есть математические правила, при помощи которых можно возвести x в любую степень: хоть в дробную, хоть в отрицательную, хоть в комплексную.