Пространство, время и движение. Величайшие идеи Вселенной

Два полезных свойства степеней: при перемножении степеней одной и той же переменной показатели степени складываются, при возведении переменной в какой-то в степени в другую степень — перемножаются.

x ax b = x a+b, (x a)b = x ab. (A.9)

Рассмотрим несколько простых (и, вероятно, знакомых) примеров. Функция x2 называется параболой. < image l:href="#"/>

Эта функция никогда не принимает отрицательных значений, поскольку при умножении двух отрицательных чисел (в данному случае двух — x) получается положительное число. То же самое происходит при возведении x в любую четную степень. Графики таких функций будут похожи на параболу. Если же возводить x в нечетную степень, отрицательная сторона функции будет отрицательная, как на графике функции x3.

Переменную можно возвести и в дробную степень, хотя при этом мы ограничены только неотрицательными значениями x. Можно сказать, что возведение в степень 1/a отменяет его возведение в степень a, так как при этом показатели степени складываются:

(A.10)

В результате график функции

— это лежащая на боку парабола.

Чтобы понять, что происходит с числом при возведении в отрицательную степень, рассмотрим произведение числа в первой и минус первой степенях.

x · x –1 = x 1–1 = x 0 = 1. (A.11)

Тогда понятно, что x–1 = 1/x. Такая функция называется обратной. Ее график имеет разрыв при x = 0, но мы не должны этого бояться. Мы говорим, что в этой точке функция 1/x не определена.

Производная степени — сама простота: показатель степени без изменений опускается вниз, а из исходного показателя вычитается единица:

(A.12)

При интегрировании, как можно представить, показатель увеличивается на единицу:

(A.13)

Забавы ради можно убедиться в этом: сначала взять производную, а потом найти от нее интеграл. Получится исходная функция.

Но есть здесь одна проблема: при a = –1 в выражении (A.13) появляется деление на ноль. Действительно, для этого случая предусмотрена отдельная формула:

(A.14)

Вертикальные черточки — это знак модуля: если значение x положительно, оно остается как есть, если же отрицательно — умножается на –1, то есть становится положительным. Функция ln x — натуральный логарифм. О них мы поговорим в следующем разделе.

Экспоненты и логарифмы

Теперь рассмотрим экспоненциальную функцию, то есть основанием является постоянная, а переменная выступает в роли показателя степени: f(x) =ax. Все очень просто. График этой функции (для а = 2) будет иметь вид:

Функция, обратная к ax, называется логарифмом (по основанию а), то есть:

(A.15)

Обычно экспонента означает быстрый рост, а логарифм, напротив, медленный рост с возрастанием x. При x = 1 логарифм всегда равен нулю, тогда как loga(a) = 1. При очень малых значениях x логарифм стремится к —?, что объяснимо, ведь loga(x) — это «основание, которое нужно возвести в степень a, чтобы получить x», а значит, чтобы получить очень маленькое значение x, нам нужно возвести его в очень большую отрицательную степень.

В мире экспонент и логарифмов есть особое число — число Эйлера:

e = 2,71828… (A.16)

В дробной части числа e бесконечное число цифр, которые никогда не образуют повторяющихся групп. Точно так же, как в числе ? = 3,14159… Это так называемые иррациональные числа, которые нельзя представить как частное двух целых чисел. Есть много способов определить число e, но, пожалуй, самый лучший из них таков: функция ex — единственная непостоянная функция, которая равна собственной производной:

(A.17)

При других основаниях производная экспоненты равна:

(A.18)

Здесь снова появляется натуральный логарифм. Теперь мы можем сказать, что он равен логарифму по основанию e:

ln(x) = loge(x). (A.19)

Мы уже видели натуральный логарифм в выражении (A.14) — формуле интеграла от функции 1/x. Если посмотреть на выражение (A.18) и вспомнить, что loga(a) = 1 при любых a, можно заметить, что при a = e неудобный множитель ln(a) исчезает, и мы получаем красивую формулу (A.17). Вот почему большинство физиков по возможности используют e в качестве основания логарифма.

Формула интеграла от логарифма так же проста:

(A.20)

Производная логарифма:

(A.21)

Интеграл от него:

(A.22)

Для тренировки попробуйте посмотреть, как изменятся эти формулы при a = e, когда ln(a) = ln e = 1.

Тригонометрические функции

И наконец, мы рассмотрим еще один набор часто используемых функций: тригонометрические функции, а именно синус и косинус. Их аргументы, как правило, представляют собой углы, а не просто реальные числа, и чтобы подчеркнуть это, мы будем использовать букву ? вместо x. Кроме того, важно сказать, что все углы мы будем измерять в радианах, а не в градусах. Сто восемьдесят градусов соответствуют ? радиан. Несложно выполнить и обратное преобразование.

Мы обсуждали тригонометрические функции в главе 3, поэтому здесь мы сразу перейдем к их интересным свойствам. Теорема Пифагора показывает нам знаменитое соотношение между синусом и косинусом:

(sin ?)2 + (cos ?)2 = 1. (A.23)

Также по теореме Пифагора мы можем определить модуль (длину) вектора

с компонентами vi в трехмерном пространстве Евклида:

(A.24)

Тогда скалярное произведение двух векторов мы можем выразить двумя равнозначными способами: через компоненты и при помощи косинуса угла между векторами:

(A.25)

Синус и косинус, что любопытно, являются производными друг друга: