Схемотехника аналоговых электронных устройств

Для определения производных алгебраических дополнений по изменяемым параметрам входящих в них элементов воспользуемся теоремой, утверждающей, что производная определителя по какому-либо элементу равна алгебраическому дополнению этого элемента. Доказательство теоремы основано на разложении определителя по Лапласу

Общее выражение для S-параметров через алгебраические дополнения имеет вид (см. подраздел 7.2)

S_ij = k_ijΔ_ji/Δ – δ_ij.

Определим функции чувствительности параметров рассеяния к пассивному двухполюснику y_o включенному между произвольными узлами k и l (см. рисунок 8.5а)

Рисунок 8.5. Расчёт чувствительности S-параметров

SSijy0 = dSij/dy0 = kij(Δji(k+l)(k+l)Δ – Δ(k+l)(k+l)Δji)/Δ² = –kijΔj(k+l)Δ(k+l)i/Δ² = –kij[(Δjk – Δjl)(Δki – Δli)]/Δ²

При получении данного и последующих выражений используются следующие матричные соотношения [3]:

Δ_(i+j)(k+l) = Δ_i(k+l) + Δ_j(k+l) = (Δ_ik – Δ_il) + (Δ_jk – Δ_jl),

Δ_ijΔ_kl – Δ_ilΔ_kl = ΔΔ_ij,kl.

Для электронных схем, содержащих БТ, моделируемые ИТУТ (см. подраздел 2.4.1), определим чувствительность S-параметров к проводимости управляющей ветви g_э=1/r_э и параметру управляемого источника a включенных соответственно между узлами k, l, и p, q (рисунок 8.5б):

SSijgэ = dSij/dgэ = kij[(Δji(k+l)(k+l)Δ + αΔij(k+l)(p+q))Δ – (Δ(k+l)(k+l)Δ+αΔ(k+l)(p+q)Δij])/Δ² = –kijΔ(k+l)i(Δj(k+l) + αΔj(p+q))/Δ² = –kij(Δki – Δli)[(Δjk – Δjl)+ α(Δjp– Δjq)/Δ²,

SSijα = dSij/dα = kij(Δji(k+l)(p+q)Δ – Δ(k+l)(p+q)Δji)/Δ² = –kijΔj(p+q)Δ(k+l)i/Δ² = –kij[(Δjp – Δjq)(Δki – Δli)]/Δ².

Если электронная схема содержит ПТ, моделируемые ИТУН (см. подраздел 2.4.1), то чувствительность параметров рассеяния к крутизне S, включенной между узлами p, q при узлах управления k, l (рисунок 8.5в), равна

SSijS = dSij/dS = kij(Δji(k+l)(p+q)Δ – Δ(k+l)(p+q)Δji)/Δ² = –kijΔj(k+l)Δ(p+q)i/Δ² = –kij[(Δjk – Δjl)(Δpi – Δqi)]/Δ².

Чувствительность параметров рассеяния к любому Y-параметру подсхемы (рисунок 8.5г), например, y_kl, будет равна

SSijykl = dSij/dykl = kij(Δji,klΔ – ΔklΔij)/Δ² = –kijΔjlΔki/Δ².

При известной чувствительности y_kl к параметру элемента подсхемы x (см. рисунок 8.5г) чувствительность S-параметров полной схемы к этому параметру, в соответствии с понятием сложной производной, выразится как

SSijx = (dSij/dykl)(dykl/dx) = SSijykl·Syklx.

Последнее выражение указывает на возможность применения метода подсхем при анализе чувствительности сложных электронных схем.

Зная связь параметров рассеяния с вторичными параметрами электронных схем (K_U, Z_вх, Z_вых и др.) и чувствительность параметров рассеяния к изменению элементов схемы, возможно нахождение функций чувствительности вторичных параметров к изменению этих элементов. Например, для коэффициента передачи по напряжению с i-го на j-й узел K_ij=S_ji/(1+S₁₁) чувствительность к изменению параметра x (полагая, что S_ij=f(x) и S_ii=φ(x)) получаем

SKijx = dKij/dx = [SSijx(1 + Sii) – SSiixSij]/(1 + Sii)².

Аналогично для Z_вх(вых) (Z_ii(jj)) имеем

Z_ii(jj) = Z_г(н)·(1 + S_ii(jj))/(1 – S_ii(jj));

SZii(jj)x = dZii(jj)/dx = –2Zг(н)·SSii(jj)x·Sii(jj)/(1 – Sii(jj))².