Схемотехника аналоговых электронных устройств

Данный способ столь же эффективно может быть использован при определении чувствительности более высоких порядков для всевозможных характеристик электронных схем. Реализация полученных таким образом алгоритмов расчета чувствительности сводится к вычислению и перебору соответствующих алгебраических дополнений, что хорошо сочетается с нахождением других малосигнальных характеристик электронных схем.

8.5. Машинные методы анализа АЭУ

В подразделе 2.3 приведена основная идея обобщенного метода узловых потенциалов, на основе которого были получены большинство соотношений для эскизного расчета усилительных каскадов. Однако наряду с несомненными достоинствами данного метода (простота программирования, малая размерность получаемой матрицы проводимости Y, n*n, где n- количество узлов схемы без опорного), данный метод имеет ряд существенных недостатков. В первую очередь следует отметить невозможность представления в виде проводимости некоторых идеальных моделей электронных схем (короткозамкнутых ветвей, источников напряжения, зависимых источников, управляемых током и т.д.). Кроме того, представление индуктивности проводимостью неудобно при временном анализе схем, что связано с преобразованием Лапласа (оператор Лапласа p должен быть в числителе для того, чтобы система алгебраических уравнений и полученная в результате преобразования система дифференциальных уравнений имела одинаковые коэффициенты).

В настоящее время наибольшее распространение получили топологические методы формирования системы уравнений электрической цепи, наиболее общим из которых является табличный [4].

В этом методе все уравнения, описывающие цепь, включаются в общую систему уравнений, содержащую уравнения Кирхгофа для токов, напряжений и компонентные уравнения.

Уравнения Кирхгофа для токов можно представить в виде

AI_в = 0,

где A — матрица инценденции [4], описывающая топологию цепи, I_в — вектор тока ветвей.

Уравнения Кирхгофа для напряжений имеют вид

V_в – A^tV_п = 0,

где V_в и V_п — соответственно, вектора напряжений ветвей и узловых потенциалов, A^t — транспонированная матрица инценденции A.

В общем случае уравнения, описывающие элементы цепи, можно представить в следующей форме:

Y_вB_в + Z_вI_в = W_в,

где Y_в и Z_в — соответственно, квазидиагональные матрицы проводимости и сопротивления ветвей, W_в — вектор, куда входят независимые источники напряжения и тока, а также начальные напряжения и токи на конденсаторах и индуктивностях.

 Запишем приведенные уравнения в следующей последовательности:

V_в – A^tV_п = 0;

Y_вB_в + Z_вI_в = W_в;

AI_в = 0;

и представим в матричной форме

или в общем виде

TX=W.

 Табличный метод имеет главным образом теоретическое значение, поскольку наряду с основным достоинством, выражающимся в том, что возможно нахождение всех токов и напряжений ветвей и узловых потенциалов, имеет ряд существенных недостатков. В первую очередь следует отметить избыточность метода, приводящую к большой размерности матрицы T. Далее следует отметить, что многие идеальные управляемые источники приводят к появлению лишних переменных. Например, входной ток управляемых напряжением источников тока и напряжения, а также входное напряжение управляемых током источников тока и напряжения равны нулю, но в данном методе они рассматриваются как переменные.

 В практическом плане чаще всего используется модификация табличного метода — модифицированный узловой метод с проверкой [4].

 Идея данного метода заключается в разделении элементов на группы; одна группа сформирована из элементов, которые описываются помощью проводимостей, для элементов второй группы такое описание невозможно. Поскольку через токи ветвей первой группы можно выразить напряжения ветвей, а напряжения ветвей через узловые потенциалы, то можно исключить из табличных уравнений все напряжения ветвей, а для элементов первой группы еще и токи ветвей. При введении дополнительных уравнений для токов в ветвях с элементами второй группы производится проверка на наличие заранее известных (нулевых) переменных. В результате такого преобразования получим уравнения модифицированного узлового метода с проверкой

или в общем виде

T_mX=W,

где n — размерность матрицы проводимости Y_n1 элементов первой группы (n — число узлов схемы без нулевого); m — число дополнительных уравнений для элементов второй группы; J_n — вектор независимых источников тока; I₂ — вектор токов ветвей элементов второй группы; W₂ — вектор, куда входят независимые источники напряжения, а также начальные напряжения и токи на конденсаторах и индуктивностях, представленных элементами второй группы.

Для упрощения программирования обычно представляют матрицу коэффициентов системы уравнений модифицированного узлового метода T_m в виде суммы двух матриц размерностью (n+m)*(n+m)

T_m = G + pC.

В матрицу G вносят все активные проводимости и коэффициенты, соответствующие частотно-независимым элементам, а в матрицу C — все частотнозависимые элементы, причем индуктивности обычно представляют элементом второй группы, т.е. сопротивлением. Далее находят решение данной системы уравнений, используя алгоритмы Гаусса-Жордана либо L/U-разложения [4].

При частотном анализе электронных схем оператор p заменяется на jω, организуется цикл по частоте, внутри которого для каждой частотной точки формируется система уравнений, которая решается относительно интересующих напряжений и токов.

 При временном анализе линейных электронных схем возможно непосредственно использовать модифицированную узловую форму уравнений

(G + pC)X = W.

После перехода во временную область получим

Gx + Cx' = W,

или

Cx' = W – Gx.

Решение полученной системы дифференциальных уравнений находится путем численного интегрирования. Одними из эффективных методов численного интегрирования являются методы, опирающиеся на линейные многошаговые формулы [4], к простейшим из которых относятся формулы Эйлера (прямая и обратная) и формула трапеций.

Разбив временной интервал [0,T] на конечное число отрезков h и положив t_n+1=t_n+h, для каждого момента времени t_n можно найти приближение x_n к истинному решению x(t_n) путем применения линейных многошаговых формул:

x_n+1 = x_n + hx'_n (прямая формула Эйлера);

x_n+1 = x_n + hx'_n+1 (обратная формула Эйлера);

x_n+1 = x_n + (h/2)(x'_n + x'_n+1) (формула трапеций).