Трактат об электричестве и магнетизме
Шрифт:
–
2a^2b^3c(2c^2-2a^2-b^2)
(c^2-a^2+bc)^2(c^2-a^2-bc)^2
– …
Распределение электричества на двух соприкасающихся сферах
175. Если рассмотреть две такие сферы при единичном потенциале, на которые не воздействуют никакие другие заряды, то при инверсии системы по отношению к точке соприкосновения мы получим две параллельные плоскости, отстоящие на расстоянии 1/(2a) и 1/(2b) от точки инверсии, электризация которых определяется действием положительного единичного заряда, находящегося в этой точке.
Возникнет последовательность положительных изображений с единичным зарядом на расстояниях s(1/a+1/b)
Кроме того, будет и последовательность отрицательных изображений с зарядом -1, расстояние которых от начала координат, отсчитываемое в направлении a равно
1
a
+
s
1
a
+
1
b
.
При обратной инверсии этой системы в две соприкасающиеся сферы положительным изображениям соответствует последовательность отрицательных изображений, расстояние которых от точки соприкосновения даётся выражением
1
,
s
1
+
1
a
b
где s - положительно для сферы A и отрицательно для сферы B. при единичном потенциале сфер заряд каждого изображения численно равен его расстоянию от точки соприкосновения и всегда отрицателен.
Кроме того, будет существовать последовательность положительных изображений, соответствующая отрицательным изображениям для двух плоскостей; расстояния этих положительных изображений от точки соприкосновения, отсчитываемые в направлении центра сферы A, равны
1
.
1
+
s
1
+
1
a
a
b
При s равном нулю или целому положительному числу изображение находится внутри сферы A, при s целом отрицательном изображение находится внутри сферы B. Заряд каждого изображения численно равен его расстоянию от начала координат и всегда положителен.
Таким образом, полный заряд сферы A равен
E
a
=
s=
s=0
1
–
ab
s=
s=1
1
.
1
+
s
1
+
1
a+b
s
a
a
b
Оба эти ряда расходятся, но если их скомбинировать в виде
E
a
=
s=
s=1
a^2b
s(a+b){s(a+b)-a}
,
то ряд становится сходящимся.
Аналогично для заряда на сфере B получим
E
b
=
s=
s=1
ab
s(a+b)-b
–
ab
a+b
s=-
s=-1
1
s
=
=
ab^2
s(a+b){s(a+b)-a}
.
Очевидно, выражение для Ea равно
ab
a+b
1
0
(b/(a+b))-1– 1
1-
d
.
Последний
результат для этого случая был получен Пуассоном.Можно также показать (Legendre, Trait'e des Fonctions Elliptiques, II, 438), что приведённый выше ряд для Ea равен
a
–
+
b
a+b
ab
a+b
,
где =0,57712..., а (x)=d/dx·ln (1+x).
Таблицы значений приведены Гауссом (Werke, Band III, р. 161-162).
Если временно обозначить b/(a+b) через x то разность зарядов Ea и Eb запишется в виде
–
d
dx
ln[(x)(1-x)]
ab
a+b
=
ab
a+b
d
dx
ln sin x
=
=
ab
a+b
ctg
b
a+b
.
Для одинаковых сфер заряд каждой равен при единичном потенциале
E
a
=
a
s=
s=1
1
2s(2s-1)
=
a
1-
1
2
+
1
3
–
1
4
+…
=
=
a ln 2
=
0,69314718 a
.
Если сфера A много меньше сферы B, то заряд на A приблизительно равен
E
a
=
a^2
b
s=
s=1
1
s^2
=
^2
6
a^2
b
,
а заряд на B приблизительно тот же, что и при удалении сферы A, т.е. Eb=b.
Средняя плотность на каждой сфере находится делением заряда на величину поверхности. Таким образом,
a
=
Ea
4a^2
=
24b
,
b
=
Eb
4b^2
=
4b
,
a
=
^2
6
b
.
Следовательно, при прикосновении малой сферы к очень большой средняя плотность на малой сфере отличается от средней плотности на большой сфере множителем ^2/6 т.е. 1,644936.
Применение метода электрической инверсии к случаю сферической чаши
176. Одной из наиболее замечательных иллюстраций метода электрических изображений сэра У. Томсона является его исследование распределения электричества на части сферической поверхности, ограниченной малым кругом. Результаты этих исследований были без доказательства сообщены г-ну Лиувилю и опубликованы в его Journal в 1847 г. Полное исследование опубликовано у Томсона в Electrical Papers, статья XV.