Трактат об электричестве и магнетизме
Шрифт:
186.Теорема III.Если V – произвольная функция от x' и y, а x' и y' – сопряжённые функции от x и y, то
d^2V
dx^2
+
d^2V
dy^2
dx
dy
=
d^2V
dx'^2
+
d^2V
dy'^2
dx'
dy'
,
где
Действительно,
dV
dx
=
dV
dx'
dx'
dx
+
dV
dy'
dy'
dx
,
d^2V
dx^2
=
d^2V
dx'^2
dx'
dx
^2
+2
d^2V
dx'dy'
dx'
dx
dy'
dx
+
d^2V
dy'^2
dy'
dx
^2
+
+
dV
dx'
d^2x'
dx^2
+
dV
dy'
d^2y'
dx^2
,
d^2V
dy^2
=
d^2V
dx'^2
dx'
dy
^2
+2
d^2V
dx'dy'
dx'
dy
dy'
dy
+
d^2V
dy'^2
dy'
dy
^2
+
+
dV
dx'
d^2x'
dy^2
+
dV
dy'
d^2y'
dy^2
.
Складывая два последних уравнения и учитывая условие (1) для сопряжённых функций, получим
d^2V
dx^2
d^2V
dy^2
=
d^2V
dx'^2
dx'
dx
^2
+
dx'
dy
^2
+
d^2V
dy'^2
dy'
dx
^2
+
dy'
dy
^2
=
=
d^2V
dx'^2
+
d^2V
dy'^2
dx'
dx
dy'
dy
–
dx'
dy
dy'
dx
,
откуда
d^2V
dx^2
+
d^2V
dy^2
dx
dy
=
d^2V
dx'^2
+
d^2V
dy'^2
x
x
dx'
dx
dy'
dy
–
dx'
dy
dy'
dx
dx
dy
=
d^2V
dx'^2
+
d^2V
dy'^2
dx'
dy'
.
Если V -
потенциал, то, согласно уравнению Пуассонаd^2V
dx^2
+
d^2V
dy^2
+
4
=
0,
так что dxdy = dx'dy', т.е. количество электричества в соответствующих участках обеих систем одинаково, если координаты одной системы являются сопряжёнными функциями координат другой системы.
Дополнительные теоремы о сопряжённых функциях
187.Теорема IV.Если x1 и y1 а также x2 и y2 являются сопряжёнными функциями от x и y, а X=x1x2– y1y2 и Y=x1y2– x2y1, то X и Y – сопряжённые функции от x и y.
Действительно,
X
+
– 1
Y
=
(x
1
+
– 1
+y
1
)
(x
2
+
– 1
+y
2
)
.
Теорема V.Если– решение уравнения
d^2
dx^2
+
d^2
dy^2
=
0, а
2R
=
ln
d
dx
^2
+
d
dy
^2
и
=-
arctg
d/dx
d/dy
,
то R и – сопряжённые функции от x и y.
Действительно, R и - сопряжённые функции от d/dy и d/dx а последние являются сопряжёнными функциями от x и y.
Пример I. Инверсия.
188. В качестве примера общего метода преобразования возьмём случай инверсии в двух измерениях.
Пусть O - фиксированная точка в плоскости, OA - фиксированное направление, r=OP=ae AOP, x и y - прямоугольные координаты точки P относительно O. Тогда
=
ln
x^2+y^2
a
,
=
arctg
y
x
,
x
=
ae
cos
,
y
=