Трактат об электричестве и магнетизме

a'

a

=

'

=

R^2

a^2-^2

=

a'^2-'^2

R^2

,

(19)

т.е. отношение расстояний центров первой и второй сферы от центра инверсии равно отношению их радиусов, отношению показателя сферы инверсии к показателю первой сферы и отношению показателя второй сферы к показателю сферы инверсии.

Изображение центра инверсии по отношению к одной из сфер является точкой инверсии центра другой сферы.

В случае, когда инверсными поверхностями являются плоскость и сфера, перпендикуляр из центра инверсии на плоскость относится к радиусу инверсии как этот радиус относится к диаметру сферы, центр сферы расположен на этом перпендикуляре, а сама сфера проходит через центр инверсии.

Любая окружность инвертируется в окружность, если только она не проходит через центр инверсии. В этом случае она инвертируется в прямую.

Углы между двумя пересекающимися поверхностями или линиями не меняются при инверсии.

Любая окружность, проходящая через некоторую точку и через её изображение в сфере, пересекает эту сферу под прямыми углами.

Следовательно, любая окружность, проходящая через некоторую точку и пересекающая сферу инверсии под прямыми углами, проходит и через изображение этой точки.

164. Метод инверсии можно применить для определения распределения электричества на заземлённой сфере под действием точечного заряда, исходя из однородного распределения на изолированной сфере в отсутствие других тел.

Если точечный заряд находится в точке A то примем её за центр инверсии, тогда для сферы радиуса a центр которой находится на расстоянии f от точки A, инвертированной фигурой будет сфера радиуса a' с центром на расстоянии f', где

a'

a

=

f'

f

=

R^2

f^2-a^2

.

(20)

Центр каждой из этих сфер совпадает с инверсной точкой для A относительно другой сферы, т. е. если C - центр, а B - инверсная точка первой сферы, то C' - инверсная точка, а B' - центр второй сферы.

Пусть теперь e - количество электричества, сообщённое второй сфере, на которую не действуют внешние силы. Оно распределится равномерно по сфере с поверхностной плотностью

'

=

e'

4a'^2

.

(21)

Действие его в любой точке вне сферы точно такое же, как действие заряда e', помещённого в центре сферы B'.

На самой сферической поверхности и внутри неё потенциал равен постоянной величине

P'

=

e'

a'

,

(22)

Произведём теперь инверсию этой системы. Центр B' переходит в инвертированной системе в инверсную точку B, заряд e' в точке B' переходит в e'R/f' в точке B и во всех точках, отделённых от точки B сферической поверхностью, потенциал равен потенциалу от заряда в точке B.

Потенциал в любой точке P, находящейся на сферической поверхности или по ту же сторону от неё, что и точка B, равен в инвертированной системе (e'/a')x(R/AP).

Если теперь добавить к этой системе заряд e в точке A, равный

e

=

–

e'

a'

P

,

(23)

то потенциал на сферической поверхности и во всех точках, расположенных по ту же сторону от неё, что и точка B, станет равным нулю. Во всех точках, расположенных с той стороны, где находится точка A, потенциал будет равен потенциалу от заряда e в точке A и заряда e'P/f' в точке B.

Но

e'

P

f'

=

– e

a'

f

=

– e

a

f

,

(24)

как мы видели раньше для заряда изображения в точке B.

Для нахождения плотности в каждой точке первой поверхности имеем

=

'

R^3

AP^3

.

(25)

Подставляя выражение ' через характеристики первой сферы, получим то же значение, что и в п. 158:

=

–

e(f^2-a^2)

4a·AP^2

.

(26)

О конечных системах последовательных изображений

165. Если две проводящие плоскости пересекаются под углом, являющимся целым делителем двух прямых углов, то получается конечная система изображений, полностью определяющая электризацию.

Действительно, пусть AOB - сечение двух проводящих плоскостей, перпендикулярное линии их пересечения, пусть угол пересечения AOB=/n, а P - точечный заряд. Тогда, построив окружность с центром в точке O радиусом OP и найдя точки, являющиеся последовательными изображениями точки P в обеих плоскостях, начиная с изображения в OB, мы найдём изображение Q₁ точки P в OB, изображение P₂ точки Q₁ в OA, изображение Q₃ точки P₂ в OB, изображение P₃ точки Q₃ в OA, изображение Q₂ точки P₃ в OB и так далее. Если бы мы начали с изображения P в AO, то получили бы те же точки в обратной последовательности - Q₂, R₃, Q₃, R₂, Q₁, если только AOB является целым делителем двух прямых углов [рис. 10].

Рис. 10

Заданный точечный заряд и получающиеся через раз изображения P₂, P₃ расположены по окружности на угловом расстонии 2AOB друг от друга, промежуточные изображения Q₁, Q₂, Q₃ находятся на таких же расстояниях друг от друга. Таким образом, если 2AOB является целым делителем 2, то получится конечная система изображений, причём ни одно из них не попадёт внутрь угла AOB. Если же AOB не является целым делителем , то истинное распределение электричества не может быть представлено конечным набором точечных зарядов.

Если AOB=/n, то будет n отрицательных изображений Q₁, Q₂ и т. д., равных по величине и противоположных по знаку заряду Q, и n-1 положительных изображений P₂, P₃ и т. д., равных P по величине и по знаку.

Угол между последовательными изображениями одинакового знака равен 2/n. Если каждую из проводящих плоскостей рассмотреть как плоскость симметрии, то видно, что точечный заряд и его положительные и отрицательные изображения расположены симметрично относительно этой плоскости, причём каждому положительному изображению соответствует отрицательное изображение, расположенное на той же нормали и на таком же расстоянии по другую сторону от плоскости.