Трактат об электричестве и магнетизме

.

² В этих выражениях следует помнить, что 2ch =e+e^– , 2sh =e– e^– , а другие функции от определены через эти так же, как и соответственные тригонометрические функции.

Метод использования биполярных координат в этом случае дан Томсоном в Liouville's Journal. 1847 г. См. работу Томсона в Electrical Papers, § 211, 212. В своём изложении я использовал исследования проф. Бетти (Nuovo Cimento, vol. XX) при изложении аналитического метода, однако я сохранил идею электрических изображений, применённую Томсоном В его оригинальных исследованиях (Phil. Mag., 1853).

Поскольку заряд каждого изображения пропорционален его параметру а знак его зависит от того, относится ли изображение к типу P или к типу Q, то

P

_s

=

Pch -cos

ch(+2s)-cos 

,

Q

_s

=

–

Pch -cos

ch(2--2s)-cos 

,

P'

_s

=

Pch -cos

ch(-2s)-cos 

,

Q'

_s

=

–

Pch -cos

ch(2-+2s)-cos 

.

Таким образом, мы нашли положения и величины зарядов для обеих бесконечных последовательностей изображений. Теперь нам остаётся определить полный заряд на сфере A, просуммировав все изображения типа Q и P' расположенные внутри сферы. Эти суммы можно записать в виде

P

ch -cos

s=

s=1

1

ch(-2s)-cos 

,

–

P

ch -cos

s=

s=1

1

ch(2--2s)-cos 

.

Аналогично полный заряд, индуцированный на B, равен

P

ch -cos

s=

s=1

1

ch(+2s)-cos 

,

–

P

ch -cos

s=

s=1

1

ch(2-+2s)-cos 

.

173. Применим эти результаты для нахождения коэффициентов ёмкости и индукции для двух сфер радиусов a и b с расстоянием между центрами c.

Пусть сфера A находится под единичным потенциалом, а сфера B - под нулевым потенциалом. Тогда последовательные изображения заряда a, помещённого в центре сферы A дадут истинное распределение электричества. Все изображения будут лежать на оси между полюсами и центрами сфер, причём, как легко видеть, из четырёх систем изображений, определённых в п. 172, в этом случае существует только третья и четвёртая.

Полагая

k

=

a⁴+b⁴+c⁴– 2b²c²– 2c²a²– 2a²b²

2c

,

получим

sh =-

k

a

, sh =

k

b

.

Значения и для центра сферы A равны =2, =0.

Таким образом, мы должны в уравнениях заменить P на a или -k/sh , - на 2, - на 0, имея в виду, что само P является частью заряда сферы A. Таким образом, для коэффициента ёмкости сферы A получаем

q

_aa

=

k

s=

s=0

1

sh(s-)

,

а для коэффициента индукции A на B или B на A

q

_ab

=

– k

s=

s=1

1

sh s

.

Таким же способом можно было бы, считая потенциал B единичным, а потенциал A - нулевым, найти значение q_bb. В принятых обозначениях мы получили бы следующее выражение:

q

_bb

=

k

s=

s=0

1

sh(+s)

.

Чтобы выразить эти величины через радиусы сфер a и b и через расстояние между их центрами c, заметим, что если ввести обозначение

K

=

a

⁴

+b

⁴

+c

⁴

– 2b

²

c

²

– 2c

²

a

²

– 2a

²

b

²

,

то можно написать

sh

=-

K

2ac

,

sh

=

K

2bc

,

sh

=

K

2ab

,

ch

=

c^2+a^2-b^2

2ca

,

ch

=

c^2+b^2-a^2

2cb

,

ch

=

c^2-a^2-b^2

2ab

и использовать соотношения

sh(+)

=

sh ch

+

ch sh

,

ch(+)

=

ch ch

+

sh sh

.

С помощью этих соотношений или же непосредственно рассчитывая последовательные изображения, как это сделано в работе сэра У. Томсона, получим

q

_aa

=

a

+

a^2b

c^2-b^2

+

a^3b^2

(c^2-b^2+ac)(c^2-b^2-ac)

+…

q

_ab

=

–

ab

c

–

a^2b^2

c(c^2-a^2-b^2)

–

a^3b^3

c(c^2-a^2-b^2+ab)(c^2-a^2-b^2-ab)

– …

q

_bb

=

b

+

ab^2

c^2-a^2

+

a^2b^3

(c^2-a^2+bc)(c^2-a^2-bc)

+…

174. Для определения зарядов E_a и E_b двух сфер, наэлектризованных соответственно до потенциалов V_a и V_b, мы имеем следующие уравнения: