Трактат об электричестве и магнетизме
Шрифт:
E
a
=
V
a
q
aa
+
V
b
q
bb
,
E
b
=
V
a
q
ab
+
V
b
q
bb
Если положить
q
aa
q
bb
–
q
ab
^2
=
D
=
1
D'
,
и
p
aa
=
q
bb
D'
,
p
ab
=
–
q
ab
D'
,
p
bb
=
q
aa
D'
,
так
p
aa
p
bb
–
p
ab
^2
=
D'
,
то уравнения для определения потенциалов через заряды будут иметь вид
V
a
=
p
aa
E
a
+
p
ab
E
b
,
V
b
=
p
ab
E
a
+
p
bb
E
b
.
где paa, pab и pbb– коэффициенты потенциала.
Полная энергия системы равна, согласно п. 85,
Q
=
1/2 (
E
a
V
a
+
E
b
V
b
)
=
1/2 (
V
a
^2
q
aa
+2
V
a
V
b
q
ab
+
V
b
^2
q
bb
)
=
1/2 (
E
a
^2
p
aa
+2
E
a
E
b
p
ab
+
E
b
^2
p
bb
)
Сила расталкивания между сферами равна, таким образом, согласно пп. 92, 93,
F
=
1/2
V
a
^2
dqaa
dc
+2
V
a
V
b
dqab
dc
+
V
b
^2
dqbb
dc
=
–
1/2
E
a
^2
dpaa
dc
+2
E
a
E
b
dpab
dc
+
E
b
^2
dpbb
dc
,
где c -
расстояние между центрами сфер.Из приведённых двух выражений силы расталкивания более удобно для расчётов первое выражение, в котором сила выражена через потенциалы сфер и коэффициенты ёмкости и индукции.
Таким образом, нам нужно дифференцировать коэффициенты q по c. Эти коэффициенты выражены как функции от k , , , причём при дифференцировании следует считать a и b постоянными. Из уравнений
k
=
– a sh
=
b sh
=
– c
sh ·sh
sh
находим
dk
dc
=-
ch ·ch
sh
,
d
dc
=
sh ·sh
k sh
,
d
dc
=
ch ·sh
k sh
,
d
dc
=
1
k
,
откуда
dqaa
dc
=
ch ·ch
sh
·
qaa
k
–
s=
s=0
(sc+b ch ) ch(s-)
c(sh (s-))^2
,
dqab
dc
=
ch ·ch
sh
·
qab
k
+
s=
s=1
s ch s
(sh s)^2
,
dqbb
dc
=
ch ·ch
sh
·
qbb
k
–
s=
s=0
(sc+a ch ) ch(s+)
c(sh (s+))^2
.
Сэр Уильям Томсон рассчитал силу между двумя сферами равного радиуса, находящимися на произвольном расстоянии, не превышающем диаметра одной из сфер. Для больших расстояний нет необходимости использовать больше двухтрех последовательных изображений.
Ряды для производных q по c могут быть легко получены прямым дифференцированием
dqaa
dc
=
–
2a^2bc
(c^2-b^2)^2
–
2a^3b^2c(2c^2-2b^2-a^2)
(c^2-b^2+ac)^2(c^2-b^2-ac)^2
– …
dqab
dc
=
ab
c^2
+
a^2b^2(3c^2-a^2-b^2)
c^2(c^2-a^2-b^2)^2
+
+
a^3b^3{(5c^2-a^2-b^2)(c^2-a^2-b^2)-a^2b^2}
c^2(c^2-a^2-b^2+ab)^2(c^2-a^2-b^2-ab)^2
+…
dqbb
dc
=
–
2ab^2c
(c^2-a^2)^2