Трактат об электричестве и магнетизме

Наиболее знакомым примером многограничной области, где удовлетворяются условия соленоидальности, является область, окружающая массу, которая притягивает или отталкивает с силой, обратно пропорциональной квадрату расстояния.

В этом случае мы имеем

X

=

m

x

r^3

,

Y

=

m

y

r^3

,

Z

=

m

z

r^3

,

где масса m предполагается расположенной в начале координат.

В любой точке, где расстояние r конечно,

dX

dx

+

dY

dy

+

dZ

dz

=

0,

но в начале координат эти величины становятся бесконечными. Для любой замкнутой поверхности, не содержащей внутри себя начала координат, поверхностный интеграл равен нулю. Если же она содержит внутри начало координат, то поверхностный интеграл по ней равен 4m

Если по какой-то причине мы захотим рассматривать область вокруг m не как многограничную, то тогда должны провести линию из m до бесконечности и при взятии поверхностного интеграла помнить, что нужно прибавлять 4m всякий раз, когда эта линия пересекает поверхность от её отрицательной стороны к положительной.

О правовинтовых и левовинтовых соотношениях в пространстве

23. В настоящем трактате поступательное движение вдоль какой-либо оси и вращательное движение вокруг этой же оси будут считаться движениями одного и того же знака при условии, что их направления соответствуют направлениям поступательного перемещения и вращения обычного, т. е. правого винта ¹⁰.

¹⁰ Совместное действие мышц руки, когда мы, поворачивая тыльной стороной правую ладонь наружу, одновременно проталкиваем руку вперёд, оставляет в памяти более прочный отпечаток характера правовинтового движения, чем какое-либо словесное определение. Обычно употребляемый пробочный штопор тоже может служить материальным образом этих же самых соотношений.

Профессор У. X. Миллер (W. Н. Miller) подсказал мне, что усики у виноградной лозы закручиваются по правому винту, а у хмеля - по левому; таким образом, системы соотношений в пространстве могли бы быть названы соответственно системой виноградных соотношений и хмелёвых соотношений.

Принимаемая нами виноградная система - это система Линнея (Linnaeus); ею пользуются изготовители винтов во всех цивилизованных странах, кроме Японии. Де Кандолле был первым, назвавшим хмелевую лозу правосторонней, в этом ему последовали Листинг и большинство авторов, писавших о круговой поляризации света. Винты, подобные усикам хмелёвой лозы, применяются для сцепления железнодорожных вагонов, а также для прикрепления колёс с левой стороны обычных экипажей, и они всегда называются левыми винтами всеми, кто ими пользуется.

Так, например, если принять действительное вращение Земли с запада на восток за положительное, то и направление земной оси с юга на север также будет взято за положительное; и если человек идёт вперёд в положительном направлении, то положительное вращение происходит в таком порядке: голова, правая рука, ноги, левая рука.

Если мы поместим себя на положительную сторону некоторой поверхности, то положительное направление вдоль ограничивающей эту поверхность кривой окажется противоположным движению стрелок часов, циферблат которых обращён к нам.

Это и есть та самая правая (правосторонняя) система отсчёта, которая принята Томсоном и Тэтом в их книге «Натуральная философия» (Natural Philosophy), а также в книге Тэта «Кватернионы» (Quaternions). Противоположная ей левая (левосторонняя) система отсчёта принята в гамильтоновых «Кватернионах» (Lectures, р. 76, and Elements, р. 108, and р. 117 note). Операция перехода от одной системы к другой названа Листингом Перверсией– обращением, зеркальным отражением.

Отражение какого-либо предмета в зеркале является его обращённым изображением.

Используя Декартовы оси координат x, y, z, мы будем изображать их так, чтобы общепринятая договорённость о циклическом порядке расположения символов приводила к правой системе отсчёта направлений в пространстве. Так, если ось x проведена смотрящей на восток, а ось y - на север, то ось z должна быть проведена вертикально вверх.

Площади поверхностей будут браться с положительным знаком в том случае, когда порядок интегрирования совпадает с циклическим порядком расстановки символов. Так, площадь на плоскости xy расположенная внутри некоторой замкнутой кривой, может быть записана либо xdy либо - ydx; в первом выражении порядок интегрирования есть x, y во втором - y, x.

Это соотношение между двумя произведениями dx dy и dy dx можно сравнить с правилом умножения двух перпендикулярных векторов в теории кватернионов, где знак произведения определяется порядком умножения; его можно сравнить также с изменением знака детерминанта, происходящим при перестановке местами соседних строчек или столбцов.

По таким же причинам объёмный интеграл должен считаться положительным, когда порядок интегрирования совпадает с циклической расстановкой переменных x, y, z и отрицательным при обращённом порядке цикличности.

Перейдём теперь к доказательству теоремы, полезной для установления связи между поверхностным интегралом, взятым по некоторой конечной поверхности, и линейным интегралом, взятым вдоль её границы.

24.Теорема IV.Линейный интеграл, взятый вдоль замкнутой кривой, может быть выражен через поверхностный интеграл, взятый по поверхности, ограниченной этой кривой.

Пусть X, Y, Z будут составляющие той векторной величины A, линейный интеграл от которой должен быть взят по замкнутой кривой s.

Пусть произвольная непрерывная поверхность S целиком ограничена замкнутой кривой s, а составляющие , , другой векторной величины B связаны с составляющими X, Y, Z уравнениями

=

dZ

dy

–

dY

dz

,

=

dX

dz

–

dZ

dx

,

=

dY

dx

–

dX

dy

.

(1)

Тогда поверхностный интеграл от B, взятый по поверхности S, равен линейному интегралу от A, взятому вдоль кривой s. Очевидно, что сами составляющие X, Y, Z удовлетворяют условию соленоидальности.

Пусть l, m, n будут направляющими косинусами нормали к элементу поверхности dS, отсчитываемой в положительном направлении. Тогда величина поверхностного интеграла от B может быть записана так:

(

l

+

m

+

n

)

dS

.

(2)

Для того чтобы придать элементу dS определённый смысл, предположим, что в каждой точке поверхности значения координат x, y, z заданы как функции двух независимых переменных и . Если постоянна, а изменяется, точка (x, y, z) будет описывать некоторую кривую на поверхности, и если перебрать целый ряд значений , то будет прочерчена серия таких кривых, полностью лежащих на поверхности S. Подобным же образом, перебирая последовательность постоянных , можно нанести вторую серию кривых, пересекающихся с кривыми первой серии и разделяющих всю поверхность на элементарные участки, любой из которых может быть взят за элемент dS.