Трактат об электричестве и магнетизме
Шрифт:
Проекция этого элемента на плоскость yz согласно обычным формулам, равна
ldS
=
dy
d
dz
d
–
dy
d
dz
d
d
d
.
(3)
Выражения для mdS и ndS получаются отсюда путём перестановки x, y, z в циклическом порядке.
Поверхностный интеграл, который мы должны найти, есть
(
l
+
m
+
n
)
dS
,
(4)
или,
m
dX
dz
– n
dX
dy
+n
dY
dx
– l
dY
dz
+l
dZ
dy
– m
dZ
dx
dS
.
(5)
Часть этого интеграла, зависящая от X, может быть записана так:
dX
dz
dz
d
dx
d
–
dz
d
dx
d
–
dX
dy
dx
d
dy
d
–
dx
d
dy
d
d
d
.
(6)
После добавления и вычитания величины
dX
dx
dx
d
dx
d
это выражение становится таким:
dx
d
dX
dx
dx
d
+
dX
dy
dy
d
+
dX
dz
dz
d
–
–
dx
d
dX
dx
dx
d
+
dX
dy
dy
d
+
dX
dz
dz
d
d
d
;
(7)
=
dX
d
dx
d
–
dX
d
dx
d
d
d
.
(8)
Предположим теперь, что кривые постоянных образуют семейство замкнутых кривых, окружающих некоторую точку на поверхности, в которой принимает своё минимальное значение, равное 0; пусть последняя кривая этого семейства, для которой =1 совпадает с замкнутой кривой s.
Предположим также, что кривые постоянных образуют семейство линий, проведённых от точки, где =0, до замкнутой кривой s, причём первая линия, соответствующая значению 0, совпадает с последней линией 1.
При интегрировании (8) по частям (первый член интегрируется по , а второй - по ) двойные интегралы взаимно уничтожаются и выражение принимает вид
1
0
X
dx
d
=1
d
–
0
X
dx
d
=0
d
–
–
1
0
X
dx
d
=1
d
+
1
0
X
dx
d
=0
d
.
(9)
Так
как точка (, 1) совпадает с точкой (, 0), то третий и четвёртый члены уничтожают друг друга, и поскольку в точке, где =0 существует только одно значение x то второй член обращается в нуль и выражение сводится к первому члену.Так как кривая =1 совпадает с замкнутой кривой s, мы можем написать это выражение в виде
X
dx
ds
ds
,
(10)
где интегрирование выполняется вдоль кривой s. Аналогично можно поступить и с теми частями поверхностного интеграла, которые зависят от Y и Z, так что окончательно получаем
(
l
+
m
+
n
)
dS
=
X
dx
ds
+
Y
dy
ds
+
Z
dz
ds
ds
(11)
где первый интеграл распространён на поверхности S, а второй берётся вдоль ограничивающей её кривой s. 11
11 Эта теорема была дана профессором Стоксом (Smith’s Prize Examination, 1854, question 8). Она доказана в книге Томсона и Тэта Natural Philosophy, § 190 (II).
О действии оператора на векторную функцию
25. Мы видели, что оператор, обозначенный как , - это такой оператор, при помощи которого векторная величина вычисляется из её потенциала. Тот же самый оператор, однако, применённый к векторной функции, даёт результаты, входящие в две только что доказанные нами теоремы (III и IV). Профессору Тэту 12 мы обязаны обобщением этого оператора применительно к векторным смещениям, а также большей части последующих усовершенствований.
12 См. Proc. R. S. Edin., April 28, 1862. «On Green’s and other allied Theorems», Trans. R. S. Edin., 1869-70 - очень ценная статья, и «On some Quaternion Integrals», Proc. R. S. Edin., 1870-71.
Пусть будет векторной функцией вектора переменной точки . Как обычно, предположим, что
=
ix
+
jy
+
kz
и
=
iX
+
jY
+
kZ
,
где X, Y, Z - составляющие в направлениях осей.
Мы должны совершить над операцию
=
i
d
dx
+
j
d
dy
+
k
d
dz
.
Выполняя эту операцию и помня правило перемножения i, j, k мы находим, что состоит из двух частей: одной - скалярной и другой - векторной.