Трактат об электричестве и магнетизме

Скалярная часть

S

=-

dX

dx

+

dY

dy

+

dZ

dz

,

(см.Теорему III)

а векторная часть

V

=

i

dZ

dy

–

dY

dz

+j

dX

dz

–

dZ

dx

+k

dY

dx

–

dX

dy

.

Если связь между X, Y, Z и , , задаётся уравнением (1) предыдущей теоремы, то мы можем записать

V

=

i

+

j

+

k

(см. Теорему IV)

Таким образом, оказывается, что функции от X, Y, Z, фигурирующие в двух теоремах, получаются в результате действия оператора на вектор, компоненты которого суть X, Y, Z. А сами эти теоремы могут быть записаны так:

S

dv

=

S

U

ds

(III)

и

S

d

=-

S

U

ds

,

(IV)

где dv есть элемент объёма, ds -элемент поверхности, d - элемент кривой, U– единичный вектор в направлении нормали.

Для того чтобы понять смысл этих функций вектора, предположим, что ₀ есть значение в точке P и будем изучать величину -₀ в окрестности P. Если построить вокруг P некоторую замкнутую поверхность, то при направленном внутрь поверхностном интеграле от , взятом по этой поверхности, величина S будет положительной и вектор -₀ около точки P в целом будет направлен в сторону P, как это показано на рис. 1.

В связи с этим я предлагаю скалярную часть от называть конвергенцией в точке P.

Для интерпретации векторной части предположим, что вектор, имеющий компоненты , , , направлен под прямым углом к плоскости листа вверх, и будем изучать вектор -₀ вблизи точки P. При этом окажется (см. рис. 2), что этот вектор в целом расположен тангенциально и направлен противоположно движению часовых стрелок.

Я предлагаю (с большой неуверенностью, однако) называть векторную часть ротацией (ротором) в точке P.

На рис. 3 проиллюстрировано сочетание ротации и конвергенции.

Рассмотрим теперь смысл уравнения V=0.

Это уравнение означает, что либо величина является скаляром, либо вектор есть пространственная вариация от некоторой скалярной функции .

26. Одно из наиболее замечательных свойств оператора состоит в том, что при повторном применении он превращается в оператор

^2

=-

d^2

dx^2

+

d^2

dy^2

+

d^2

dz^2

,

который встречается во всех разделах Физики и который мы можем называть Оператором Лапласа.

Сам по себе этот оператор существенно скалярный. Когда он действует на скалярную функцию, получается скаляр, а когда он действует на векторную функцию, получается вектор.

Если провести небольшую сферу радиуса r с центром в точке P и считать, что q₀ есть значение величины q в её центре, a q есть значение q среднее по всем точкам внутри сферы, то

q

₀

–

q

=

1

10

r^2^2q

,

так что значение в центре либо превышает, либо слегка не достигает этого среднего значения в зависимости от того, является ли величина ^2q положительной или отрицательной.

Я предлагаю поэтому называть величину ^2q концентрацией (сгущением) q в точке P, потому что она характеризует превышение величины q в этой точке над её средним значением в окрестности данной точки.

Если q - скалярная функция, то метод отыскания её среднего значения хорошо известен. Если же это векторная функция, то нам следует отыскивать её среднее значение, руководствуясь правилами интегрирования векторных функций. В результате, конечно, получится вектор.

ЧАСТЬ I ЭЛЕКТРОСТАТИКА

ГЛАВА I ОПИСАНИЕ ЯВЛЕНИЙ

Электризация трением

27.Опыт I¹. Возьмём кусок стекла и кусок смолы, не обладающие каждый никакими электрическими свойствами, потрём их друг о друга и оставим натёртые поверхности в контакте. Пока ещё электрические свойства не будут проявляться. Отделим куски друг от друга. Они начнут взаимно притягиваться.

¹ См. Sir W. Thomson, On the Mathematical Theory of Electricity in Equilibrium, Cambridge and Dublin Mathematical Journal, March, 1848.

Если другой кусок стекла потереть о другой кусок смолы, отделить затем эти куски и подвесить их рядом с первыми двумя кусками стекла и смолы, то можно будет заметить: 1) что оба куска стекла отталкивают друг друга, 2) что каждый кусок стекла притягивается к каждому куску смолы, 3) что оба куска смолы отталкивают друг друга.

Эти явления притяжения и отталкивания называются Электрическими явлениями, а про тела, проявляющие такие свойства, говорят, что они наэлектризованы, или заряжены электричеством.

Тела могут быть наэлектризованы и многими другими способами, не только с помощью трения.

Электрические свойства обоих кусков стекла сходны между собой, но противоположны свойствам обоих кусков смолы; то, что отталкивается смолой, притягивается стеклом, а то, что притягивается смолой, отталкивается стеклом.

Если тело, наэлектризованное каким бы то ни было способом, ведёт себя подобно стеклу, т. е. отталкивает стекло и притягивает смолу, то говорят, что тело заряжено стеклообразно, если же оно притягивает стекло и отталкивает смолу, говорят, что оно заряжено смолообразно. Все наэлектризованные тела, как оказалось, наэлектризованы либо стеклообразно, либо смолообразно.

Среди людей науки принято стеклообразную электризацию называть положительной, а смолообразную - отрицательной. Прямо противоположные свойства обоих видов электризации оправдывают приписывание им противоположных знаков, однако вопрос о том, какому из видов электричества приписывать положительный знак, следует считать предметом условного соглашения, подобно тому как чисто условным является откладывание положительных расстояний в графиках в правую сторону.