Трактат об электричестве и магнетизме
Шрифт:
E
=
P
A
X
dx
Y
dy
Z
dz
=-
P
A
dV
=
V
A
–
V
P
,
где интегрирование производится по любому пути от точки А к точке Р, будь то заданная кривая или любая другая линия, соединяющая А и Р.
Здесь V - скалярная функция положения точки в пространстве, т. е. значение координат точки определяет
О функциях положения точки
В последующем, описывая какую-либо величину как функцию положения точки, мы имеем в виду, что для каждого положения точки функция имеет определённое значение. Мы не подразумеваем при этом, что это значение всегда выражается одной и той же формулой для всех точек пространства; оно может выражаться одной формулой по одну сторону от некоторой поверхности и другой - по другую сторону.
О потенциальных функциях
70. Величина Xdx+Ydy+Zdz является полным дифференциалом во всех случаях, когда сила обусловлена притяжением или отталкиванием, напряжённость которых зависит от расстояний до некоторого числа точек. Если r - расстояние одной из этих точек от точки (x, y, z) a R - напряжённость отталкивания, то
X
1
=
R
1
x-x1
r1
=
R
1
dx1
dx
и аналогично для Y1 и Z1 так что
X
1
dx
+
Y
1
dy
+
Z
1
dz
=
R
1
dr
1
,
а поскольку R1 зависит только от r1 то R1dr1 является полным дифференциалом некоторой функции от r1 скажем, -V1.
Аналогично для любой другой силы R2, действующей из центра, находящегося на расстоянии r2,
X
2
dx
+
Y
2
dy
+
Z
2
dz
=
R
2
dr
2
=-
V
2
.
Ho X=X1+X2+ и т. д., и аналогично Y и Z, так что
X
dx
+
Y
dy
+
Z
dz
=
– dV
1
– dV
2
– и т.д.=
– dV
.
Интеграл от этой величины, обращающийся в нуль на бесконечности, называется Потенциальной Функцией.
В теории притяжения эта функция была впервые применена Лапласом при расчёте притяжения Земли. Грин в своём исследовании «О применении математического анализа к электричеству» дал ей название Потенциальной Функции. Гаусс независимо от Грина также пользовался термином Потенциал. Клаузиус и другие понимали под Потенциалом работу, которая была бы совершена при удалении
двух тел или систем на бесконечное расстояние друг от друга. Мы будем придерживаться применения этого слова в том смысле, в каком оно используется в последних английских работах и избегнем неопределённости, приняв следующее определение сэра У. Томсона.Определение потенциала. Потенциал в Точке - это работа, которая была бы совершена электрическими силами над единичным положительным зарядом, внесённым в эту точку без искажения распределения заряда, при переносе его из этой точки на бесконечное расстояние, или, что то же самое-работа внешнего источника при переносе единичного положительного заряда из бесконечности (или из любого места, где потенциал равен нулю) в данную точку.
Выражение напряжённости и её составляющих через потенциал
71. Поскольку полная электродвижущая сила вдоль любой дуги АВ равна EAB=VA– VB, то, положив дугу АВ равной ds получим для составляющей напряжённости в направлении ds: R cos =-(dV/ds), откуда, приняв последовательно ds параллельными каждой из осей, получим
X
=-
dV
dx
,
Y
=-
dV
dy
,
Z
=-
dV
dz
,
R
=
dV
dx
^2
+
dV
dy
^2
+
dV
dz
^2
1/2
.
Саму напряжённость, величина которой равна R а составляющие равны X, Y, Z мы будем обозначать готической буквой E как в п. 68.
Потенциал во всех точках внутри проводника одинаков
72. Проводник - это тело, которое позволяет электричеству перемещаться от одной части тела к другой под действием электродвижущей силы. Если электричество находится в равновесии, то внутри проводника не может быть электродвижущей напряжённости. Таким образом, R=0 во всем объёме, занятом проводником. Отсюда следует, что (dV/dx)=0, (dV/dy)=0, (dV/dz)=0, так что для всех точек проводника V=C где C - постоянная величина.
Поскольку потенциал во всех точках внутри проводника равен C, величину C называют Потенциалом проводника. C можно определить как работу, которую должна совершить внешняя сила, чтобы перенести единичный заряд из бесконечности на проводник в предположении, что распределение электричества не искажается в присутствии этого единичного заряда.
В п. 246 будет показано, что в общем случае контакта двух тел различного рода через поверхность контакта действует электродвижущая сила от одного тела к другому, так что, когда они находятся в равновесии, потенциал одного тела выше потенциала другого. Поэтому мы пока будем считать, что все наши проводники сделаны из одного и того же металла и находятся при одинаковой температуре.
Если потенциалы проводников A и B равны соответственно VA и VB, то электродвижущая сила вдоль проволоки, соединяющей A и В, равна VA– VB в направлении от A к B, т.е. положительное электричество будет стремиться перейти с проводника с большим потенциалом на другой проводник.