Трактат об электричестве и магнетизме

74 д. Лаплас первым показал, что никакая функция расстояния, кроме обратно пропорциональной квадрату расстояния, не удовлетворяет условию, что однородная сферическая оболочка не действует на частицу, находящуюся внутри неё ².

² M'ec. C'el., I, 2.

Если мы примем, что в выражении (15) всегда равно нулю, мы сможем применить метод Лапласа для нахождения вида f(r) Из (15) следует, что

bf

(2a)

–

af

(a+b)

+

af

(a-b)

=0.

Дифференцируя дважды по b и деля на a, получим f''(a+b)=f''(a-b).

Если это равенство выполняется тождественно, то f''(r)=C₀=const. Отсюда f'(r)=C₀r+C₁ и, согласно (1),

^r

(r)

dr

=

f(r)

r

=

C

₀

+

C₁

r

,

(r)

=

C₁

r^2

.

Заметим здесь, что хотя предположение Кавендиша о том, что сила меняется как некоторая степень расстояния, представляется менее общим, чем предположение Лапласа, что сила является произвольной функцией расстояния, оно является единственным совместимым с тем фактом, что подобные поверхности могут быть заряжены так, чтобы иметь подобные электрические свойства.

Ибо, если бы сила была функцией расстояния, отличной от степенной, то отношение сил на двух различных расстояниях не было бы функцией отношения расстояний, а зависело бы от абсолютного значения этих расстояний и поэтому содержало бы отношения этих расстояний к абсолютно фиксированной длине.

Фактически Кавендиш сам отмечает, что, согласно его собственной гипотезе о строении электрической жидкости, распределение электричества на двух геометрически подобных проводниках не может быть в точности подобным, если только заряды проводников не пропорциональны объёмам. Действительно, он предполагает, что частицы электрической жидкости плотно спрессованы вблизи поверхности тела, а это эквивалентно предположению о том, что закон взаимодействия не является законом обратных квадратов, и для сильно сблизившихся частиц расталкивание начинает расти значительно быстрее с дальнейшим уменьшением расстояния между ними.

Поверхностный интеграл от электрической индукции и электрическое смещение через поверхность

75. Пусть R - результирующая напряжённость в произвольной точке поверхности, а - угол, который она образует с нормалью, проведённой к положительной стороне поверхности. Тогда R cos - составляющая напряжённости по нормали к поверхности, и если dS - элемент поверхности, то электрическое смещение через dS будет, согласно п. 68, равно (1/4)KR cos dS. Поскольку мы сейчас не рассматриваем никаких диэлектриков, кроме воздуха, то K=1.

Мы можем, однако, избежать на этой стадии применения теории электрического смещения, назвав величину R cos dS. Индукцией через элемент dS. Эта величина хорошо известна в математической физике, но название её мы заимствовали у Фарадея. Поверхностный интеграл от индукции равен R cos dS. Из п. 21 следует, что если X, Y, Z - составляющие R и если они непрерывны в области, ограниченной замкнутой поверхностью S то индукция, отсчитываемая изнутри наружу, равна

R cos

dS

=

dX

dx

+

dY

dy

+

dZ

dz

dx

dy

dz

,

где интегрирование проводится по всему объёму, охватываемому поверхностью.

Индукция через замкнутую поверхность, обусловленная отдельным силовым центром

76. Пусть в точке O находится количество электричества e и пусть r - расстояние произвольной точки Р от точки О. Тогда напряжённость в этой точке равна R=er^{– 2} и направлена по ОР.

Пусть из точки О проведена в произвольном направлении прямая в бесконечность. Если точка О находится вне заданной замкнутой поверхности, то эта прямая либо не пересечёт этой поверхности, либо выйдет из неё столько же раз, сколько войдёт. Если О находится внутри поверхности, то прямая должна сначала выйти из поверхности, а потом она может попеременно входить и выходить любое число раз, но в конце концов она должна выйти из поверхности.

Пусть - угол между ОР и наружной нормалью к поверхности в точке, где её пересекает ОР. Там, где прямая выходит из поверхности, cos положителен, а там, где входит, - отрицателен.

Опишем теперь вокруг точки О сферу единичного радиуса, и пусть прямая ОР описывает коническую поверхность с малым углом раскрыва и с вершиной в точке О.

Этот конус вырежет малый элемент d на поверхности сферы и малые элементы dS₁, dS₂, и т. д. на замкнутой поверхности в различных местах пересечения прямой ОР с нею.

Поскольку каждый из этих элементов dS пересекает конус на расстоянии r от вершины и наклонён под углом , то dS=±r^2 sec d, а так как R=er^{– 2}, то R cos dS=±d. При этом положительный знак берётся, когда r выходит из поверхности, а отрицательный - когда входит.

Если точка О находится вне поверхности, то положительных значений столько же, сколько отрицательных, так что для любого направления R cos dS=0, и, следовательно, R cos dS=0, где интегрирование производится по всей замкнутой поверхности.

Если же точка О находится внутри замкнутой поверхности, то радиус-вектор ОР сначала выходит из поверхности, что даёт положительный вклад ed а потом равное число раз входит и выходит, так что в этом случае R cos dS=ed.

Взяв интеграл по всей замкнутой поверхности, мы охватим всю сферическую поверхность, площадь которой равна 4, так что

R cos

dS

=

e

d

=

4e

.

Таким образом, мы заключаем, что полная индукция в наружном направлении через замкнутую поверхность, обусловленная силовым центром e находящимся в точке О, равна нулю, если точка О находится вне поверхности, и равна 4e если точка О находится внутри поверхности.