Трактат об электричестве и магнетизме

Если линейную плотность обозначить через , то полное количество электричества на кривой будет равно e=ds, где ds -элемент длины кривой. Аналогично, если - поверхностная плотность, то полное количество электричества на поверхности равно e=dS где dS - элемент поверхности.

Наконец, если - объёмная плотность в каждой точке пространства, то полный заряд в некотором объёме равен e=dxdydz где dxdydz - элемент объёма. Пределами интегрирования во всех случаях являются границы кривой, поверхности или рассматриваемой части пространства.

Очевидно, e, , и - величины различного рода, причём размерность каждой последующей величины меньше размерности предыдущей на множитель размерности длины, так что если l означает длину, то величины e, l, l^2 и l^3 будут одного и того же рода, и если [L] -единица длины, а [], [], [] - единицы плотностей различного рода, то [e], [L], [L^2], [L^3], означают все единицу электричества.

Определение единицы электричества

65. Пусть A и B– две точки, находящиеся на расстоянии в единицу длины. Пусть два тела, размеры которых малы по сравнению с расстоянием AB, заряжены равными количествами положительного электричества и помещены соответственно в точки A и B и пусть заряды их таковы, что сила их взаимного расталкивания равна единичной силе (способ её измерения указан в п. 6). Тогда заряд каждого тела считается равным единице количества электричества.

Если бы тело B было заряжено единицей отрицательного электричества, то, поскольку взаимодействие тел носило бы противоположный характер, тела бы притягивались с единичной силой. Если бы заряд A тоже был отрицательным и равным единице, мы вновь имели бы отталкивание с единичной силой.

Поскольку взаимодействие любых двух порций электричества не зависит от наличия остальных, сила расталкивания e единиц электричества в точке A и e' единиц электричества в точке B будет равна ee', если расстояние AB равно единице (см. п. 39).

Закон действия силы, между заряженными телами

66. Кулон показал на опыте, что сила, действующая между заряженными телами, размеры которых малы по сравнению с расстоянием между ними, меняется обратно пропорционально квадрату расстояния. Таким образом, сила расталкивания двух таких тел, несущих заряды e и e' и находящихся на расстоянии r, равна ee'/r^2.

В п. 74в, 74г и 74д мы покажем, что этот закон - единственный, согласующийся с наблюдённым фактом, состоящим в том, что проводник, помещённый внутрь другого полого замкнутого проводника и находящийся с ним в контакте, полностью теряет свой электрический заряд. Наше убеждение в точности закона обратных квадратов следует считать основанным скорее на опытах такого рода, нежели на непосредственных измерениях Кулона.

Результирующая сила между двумя телами

67. Чтобы рассчитать результирующую силу между двумя телами, мы можем разделить каждое тело на элементы объёма и рассмотреть силу отталкивания электричества, расположенного на каждом элементе одного объёма, от электричества на каждом элементе второго объёма. Таким образом, мы получим систему сил, число которых равно произведению чисел элементов, на которые разделено каждое тело. Затем следует сложить действие всех этих сил по правилам Статики. Таким образом, чтобы найти составляющую в направлении оси x нужно найти значение шестикратного интеграла

'(x-x')dxdydzdx'dy'dz'

{(x-x')²+(y-y')²+(z-z')²}^3/2

где x, y, z - координаты точки первого тела, плотность заряда в которой равна ; x', y', z' ' - соответствующие величины для второго тела, и интегрирование производится сначала по одному телу, а затем по другому.

Результирующая напряжённость в точке

68. Для упрощения математических выкладок удобно рассматривать действие заряженного тела не на другое тело произвольной формы, а на достаточно малое тело, заряженное достаточно малым количеством электричества, помещённое в произвольную точку пространства, куда простирается электрическое действие. Принимая заряд этого тела достаточно малым, мы делаем неощутимым его искажающее действие на заряд первого тела.

Пусть e - заряд малого тела, и пусть при помещении в точку (x, y, z) на него действует сила Re, направляющие косинусы которой l, m, n. Тогда мы можем назвать R результирующей электрической напряжённостью в точке (x, y, z).

Если X, Y, Z - составляющие R, то X=Rl, Y=Rm, Z=Rn. Говоря о результирующей электрической напряжённости в точке, мы не обязательно имеем в виду, что здесь фактически действует какая-то сила; мы только хотим сказать, что если бы в эту точку было помещено заряженное тело, то на него действовала бы сила Re где e - заряд этого тела ¹.

¹ Электрическая и магнитная напряжённости в электричестве и магнетизме соответствуют напряжённости тяготения, обозначаемой обычно через g в теории тяготения.

Определение. Результирующая электрическая напряжённость в точке - это сила, которая действовала бы на малое тело, заряженное единичным положительным зарядом, если бы его поместили в эту точку, не исказив имеющегося распределения электричества.

Эта сила стремится не только переместить заряженное тело, но также переместить электричество на этом теле, так что положительное электричество стремится сместиться в направлении R а отрицательное - в противоположном направлении. Поэтому величина R называется также Электродвижущей Напряжённостью в точке (x, y, z).

Если мы захотим выразить явно тот факт, что результирующая напряжённость является вектором, мы будем обозначать её готической буквой E. Если тело является диэлектриком, то, согласно принятой в этом трактате теории, электричество смещается в нём, причём количество электричества, смещаемое в направлении вектора E через единичную площадку, перпендикулярную E, равно D=KE/4, где D - смещение, E - напряжённость поля, а K - индуктивная способность диэлектрика.

Если тело является проводником, то состояние напряжения непрерывно снимается, так что возникает ток проводимости, поддерживаемый до тех пор, пока в среде действует E.

Линейный интеграл от электрической напряжённости или электродвижущая сила вдоль дуги кривой

69. Электродвижущая сила вдоль заданной дуги АР некоторой кривой измеряется численно работой, которая была бы совершена электрической напряжённостью над единичным положительным зарядом, перемещаемым вдоль кривой, начиная с точки А и кончая точкой Р дуги.

Если s - длина дуги, отмеряемая от точки А, а результирующая напряжённость R в каждой точке кривой образует угол с касательной к кривой, проведённой в положительном направлении, то работа,- совершенная над единичным электрическим зарядом при его перемещении вдоль элемента кривой ds равна R cos ds а полная электродвижущая сила E равна

E

=

s

0

R cos

ds

,

где интегрирование производится от начала до конца дуги.

Если использовать составляющие напряжённости, то это выражение примет вид

E

=

s

0

X

dx

ds

+

Y

dy

ds

+

Z

dz

ds

ds

.

Если X, Y, Z таковы, что Xdx+Ydy+Zdz образует полный дифференциал функции - V от x, y, z, то