Трактат об электричестве и магнетизме
Шрифт:
Теория этого опыта
74 в. Найдём потенциал в произвольной точке, создаваемый однородной сферической оболочкой при силе расталкивания двух единичных зарядов, описываемой заданной функцией расстояния.
Пусть (r) - расталкивание двух единичных зарядов на расстоянии r, а f(r) - такая функция, что
df(r)
dr
(=f'(r))=r
r
f(r)
dr
.
(1)
Пусть радиус оболочки равен a а поверхностная плотность заряда на ней . Тогда если через обозначить полный заряд на оболочке,
=4a^2
(2)
Пусть b - расстояние заданной точки от центра оболочки, а r - расстояние этой точки от любой данной точки оболочки.
Если мы введём сферические координаты точки на оболочке, выбрав полюс в центре оболочки, а ось проходящей через заданную точку, то получим
r^2
=
a^2
+
b^2
–
2ab cos
.
(3)
Заряд элемента оболочки равен
a^2 sin
d
b
,
(4)
а потенциал, создаваемый этим элементом в заданной точке, равен
a^2 sin
f'(r)
r
b
d
.
(5)
Это выражение нужно проинтегрировать по от =0 до =2, что даёт
2
a^2 sin
f'(r)
r
b
.
(6)
Остаётся провести интегрирование по от =0 до =.
Дифференцируя (3), найдём
r
dr
=
ab
sin
d
.
(7)
Подставляя значение d в (6), получим
2
a
b
f'(r)
dr
.
(8)
Интегрирование даёт
V
=
2
a
b
{
f(r
1
)
–
f(r
2
)
},
(9)
где r1– наибольшее значение r равное всегда a+b а r1– наименьшее значение r, равное b-a в случае, когда заданная точка находится вне оболочки, и a-b когда эта точка внутри оболочки.
Если - полный заряд оболочки, a V - создаваемый им потенциал в данной точке, то для точек вне оболочки
V
=
2ab
{
f(b+a)
–
f(b-a)
},
(10)
на самой оболочке
V
=
2a^2
f(2a),
(11)
а для точек внутри её
V
=
2ab
{
f(a+b)
–
f(a-b)
},
(12)
Найдём теперь потенциалы двух концентрических сферических оболочек с радиусами внешней и внутренней оболочек равными a и b и зарядами и .
Обозначая потенциал внешней оболочки через А,
а внутренней через В, мы найдём из вышесказанного, чтоA
=
2a^2
f(2a)
+
2ab
{
f(a+b)
–
f(a-b)
},
(13)
B
=
2b^2
f(2b)
+
2ab
{
f(a+b)
–
f(a-b)
},
(14)
В первой части опыта оболочки соединены короткой проволочкой и приобретают обе одинаковый потенциал V.
Полагая A=B=V и решая уравнения (13) и (14) относительно , мы найдём заряд на внутреннем проводнике:
=
bf(2a)-a[f(a+b)-f(a-b)]
f(2a)f(2b)-[f(a+b)-f(a-b)]^2
(15)
В опыте Кавендиша полусферы, образующие оболочку, отводились на расстояние, которое мы можем считать бесконечным, и разряжались. Потенциал внутренней оболочки (т. е. шара) становился при этом равным
B
1
=
2b^2
f(2b)
.
При повторении опыта в Кавендишской Лаборатории наружная оболочка оставалась на месте, но заземлялась, так что A=0. В этом случае для потенциала внутреннего шара, выраженного через V, получим
B
2
=
V
1-
a
b
f(a+b)-f(a-b)
f(2a)
.
(17)
74 г. Примем теперь вместе с Кавендишем, что сила обратно пропорциональна некоторой степени расстояния, не сильно отличающейся от двойки.
Положим
(r)=r
q-2
,
(18)
тогда
f(r)
=
1
1-q^2
r
q+1
.
(19)
Если считать q малым, то это выражение можно представить по теореме об экспоненте в виде разложения
f(r)
=
1
1-q^2
r
1+
q ln r+
1
1·2
(q ln r)^2
+…
.
(20)
Если пренебречь членами, содержащими q^2 то выражения (16) и (17) примут вид
B
1
=
1
2
a
a-b
Vq
ln
4a^2
a^2-b^2
–
a
b
ln
a+b
a-b
,
(21)
B
2
=
1
2
Vq
ln
4a^2
a^2-b^2
–
a
b
ln
a+b
a-b
.
(22)
Отсюда можно найти q по данным опыта.