Занимательно о космологии

Постулаты, в древнегреческом понимании, представляли собой конкретные утверждения, свойственные той или иной науке. Первая фраза постулата должна была начинаться словами «допустим, что…». Это также снимало возможность спора, но не налагало на выдвинутое положение критерия безусловности.

Такое очень важное и тонкое различие между аксиомой и постулатом со временем сгладилось и принесло неисчислимые беды и чистым философам, и представителям натуральной философии, но о том речь дальше.

Изложение геометрии в книгах Эвклида построено в виде системы определений, аксиом и постулатов, из которых логическим путем выводятся теоремы. В первых четырех книгах Эвклид рассматривает геометрию на плоскости. При этом в книге первой он формулирует пять основных требований, или допущений, на которых строит остальные выводы. Постулаты Эвклида настолько наглядны, настолько очевидны, что так и хочется назвать их аксиомами. Но мы уже предупреждены. И мы начеку. Да и сами постулаты при всей своей определенности точно взывают к бдительности. Смотрите сами. Эвклид пишет: «Нужно потребовать (помните, это эквивалентно словам „допустим, что…“):

1. Чтобы из каждой точки к каждой точке можно было провести прямую линию (и притом только одну).

2. И чтобы ограниченную прямую можно было непрерывно продолжить по прямой.

3. И чтобы из любого центра любым радиусом можно было описать окружность.

4. И чтобы все прямые углы были друг другу равны.

5. И чтобы всякий раз, как прямая, пересекая две прямые, образует с ними внутренние односторонние углы, составляющие вместе меньше двух прямых, эти прямые при неограниченном продолжении пересекались с той стороной, с которой эти углы составляют меньше двух прямых».

Даже не умудренный математикой читатель сразу заметит, что пятый постулат резко отличается от четырех первых. Он гораздо сложнее и больше похож на теорему, которую нужно доказывать. В пятом постулате нет и следа наглядности первых четырех, ведь здесь говорится о «неограниченном продолжении» прямых. А попробуйте-ка займитесь этим «неограниченным продолжением». Кто возьмет на себя смелость сказать, что и в бесконечности параллельные прямые не сойдутся?.. То есть интуитивно, конечно, пятый постулат кажется бесспорным. Но интуиция диктуется опытом. Опыт же перед бесконечностью пас. Эвклид и сам скорее всего понимал, что с пятым постулатом не все обстоит чисто. Потому он и распределил изложение материала в своих книгах на две неравные части.

В первой сгруппированы теоремы, которые доказываются с помощью четырех начальных постулатов. Эта часть называется Абсолютной Геометрией. Во второй собраны теоремы, которые могут быть доказаны только при использовании пятого постулата. И эта вторая часть носит название собственно эвклидовой геометрии. Скорее всего некогда пятый постулат был теоремой. Однако ни одна из попыток доказать ее не увенчалась успехом. И тогда Эвклид включил упрямую теорему в число постулатов.

Математики так легко не примирились с решением Эвклида. «В области математики найдется мало вещей, — писал Карл Фридрих Гаусс, — о которых было бы написано так много, как о пробеле в начале геометрии при обосновании теории параллельных линий. Редко проходит год, в течение которого не появилась бы попытка восполнить этот пробел. И все же если мы хотим говорить честно и открыто, то нужно сказать, что, по существу, за 2000 лет мы не ушли в этом вопросе дальше, чем Эвклид».

От планиметрии — геометрии на плоскости — Эвклид переходит в последних трех книгах к геометрии в пространстве — стереометрии. Что же подразумевал Эвклид под пространством? В руках у вас, читатель, книга. Считайте ее плоскостью. А теперь поднимите ее плашмя над столом и опустите снова. Объем, который прошла книга при этом движении, и есть эвклидово пространство. Просто, правда? В этом пространстве должны быть удовлетворены все постулаты и аксиомы Эвклида, потому что они суть его свойства. Да и кому в голову придет усомниться, например, в том, что прямую линию можно продолжать в бесконечность. Или что пространство всюду обладает одними и теми же свойствами, что позволяет свободно передвигать любые фигуры в пространстве, не нарушая их внутренних связей.

От абстрактного геометрического понятия эвклидова пространства легко перейти к физическому пространству, в котором мы с вами живем и двигаемся. А приложив к миру Эвклида наглядные декартовы координаты, мы добиваемся полного слияния двух геометрий: геометрии Эвклида и геометрии физического мира.

Можно сказать даже, что слишком легко понятия геометрии: точка, линия, фигура, тело — отождествляются с наблюдаемыми объектами. И хотя геометрическая точка является идеализацией точки физической, так и кажется, что подобная идеализация никак не может нарушить основ геометрии. Геометрические объекты физического мира казались настолько тождественными объектам, с которыми имеет дело геометрия, что из этого кажущегося тождества выросла уверенность в том, что для описания пространства физического мира даже формально не может быть построено другой геометрии, кроме эвклидовой. То есть, что геометрия Эвклида — это и есть единственно возможная геометрия физического мира!

Внимательный читатель должен был заметить небольшой логический «кувырок», поставивший взаимоотношения геометрий Эвклида и реального мира в нашем представлении с ног на голову. Родившись и пребывая в своем первоначальном состоянии в качестве предисловия к физике, геометрия воспользовалась полным отвлечением пространственных форм и отношений от материального содержания и превратилась в отрасль чистой математики. Превратилась, чтобы затем подменить собой систему взглядов, описывающих реальный мир. Это было тем более опасно, что, основанная на аксиомах и постулатах, эвклидова геометрия, хоть и вытекала из опыта, проблемой согласования своих выводов с опытом не интересовалась.

Подобные метаморфозы в истории науки не новость. Метод Эвклида был очень похож на метод Аристотеля. Точно так же постулировал Аристотель целый ряд свойств сил и их действий на тела, находящиеся в движении. Понадобился Галилей, чтобы возник вопрос об опытной проверке законов Аристотеля. И тогда казавшаяся совершенной логическая схема стагирского философа и построенная на ее основе механика оказались просто неверными. Галилей с помощью опыта опроверг Аристотеля и открыл дорогу новым законам механики.

Нечто подобное предстояло совершить и с геометрией Эвклида. Но лишь в конце XIX столетия люди поняли, что положения геометрии, описывающие свойства физического пространства, тоже можно и нужно проверять на опыте, как это делают с любыми законами физики. И это было великим открытием.

Царь Мидас из страны математики

Карл Фридрих Гаусс родился в Брауншвейге, в семье зажиточного мастера-водопроводчика, 30 апреля 1777 года. Мальчик часто поражал взрослых своими способностями к счету. Сохранилась даже легенда, как однажды трехлетний Карл поправил отца, допустившего ошибку в расчетах с подсобниками. Можно предположить, что именно эти способности привели юного наследника почтенного ремесленника в стены Геттингенского университета. Здесь студент Карл Гаусс со всей основательностью принялся за изучение математики. Геометрия Эвклида поразила и покорила его. Как и многие другие до него и после, Гаусс отдал немало сил честолюбивому стремлению доказать пятый постулат. Правда, в отличие от других он скоро убедился в принципиальной невозможности его доказательства. Одновременно выяснилась удивительная вещь: пятый постулат был настолько не связан с остальными, что, заменив его другим, можно было построить стройную систему взглядов, может быть, несколько иных, чем эвклидовы, но так же непротиворечивых. Даже допущение ошибочности пятого постулата не входило в противоречие с остальными четырьмя… Нет, молодому Гауссу не удалось превратить пятый постулат Эвклида в теорему. Но эта попытка дала ему прекрасное знание основ геометрии и на всю жизнь привила будущему математику любовь к этой строгой науке.

Заботясь о своем авторитете первого математика мира, Гаусс в дальнейшем никогда больше не возвращался к пятому постулату. Но он на всю жизнь сохранил к нему интерес и ревнивое отношение к работам других математиков, касавшихся этой темы.

Со времен Эвклида верхом искусства геометров считалось умение построить с помощью только циркуля и линейки правильный пятиугольник, который потом, умножая его стороны, можно было бы превратить в десятиугольник, пятнадцатиугольник и т. д. Гаусс-студент открывает способ построения семнадцатиугольника. А через пять лет после окончания университета выпускает большой труд под названием «Арифметические исследования». Здесь, в последнем разделе своего сочинения, он приводит полностью разработанную теорию деления круга. Теперь математики могли строить любые многоугольники, не хвастаясь своим искусством.