Занимательно о космологии

— Эй, двухмерный, как там у тебя с геометрией?

— Все так же. Как была эвклидовой, такой и осталась…

— Подожди, разве ты не чувствуешь изменений?

— Нет. Гауссова кривизна равна нулю по-прежнему.

И ведь он прав, наш двухмерный двойник. У плоского листа бумаги оба радиуса кривизны, R ₁и R ₂, имеют бесконечно большое значение. Следовательно, произведение их обратных величин даст нуль. Но нуль можно получить, имея и один радиус бесконечным. Значит, и цилиндр и конус будут обладать внутренней геометрией, неотличимой от эвклидовой на плоскости.

Другое дело, если бы нам пришла в голову фантазия превратить плоский лист бумаги в сферу. Впрочем, вряд ли это кому-либо удастся, не сминая листа в складки или не разрывая его поверхности. Сфера — поверхность совсем другого характера, чем плоскость, и потому ее внутренняя геометрия не такая, как у плоскости. И кривизна ее имеет положительное значение, а не равна нулю.

Фактически Гаусс заложил основы совсем новой геометрии, опирающейся на опыт, на измерения, а не на постулаты. Правда, его исследования касались лишь поверхностей двух измерений. Но это была тропа, которая должна была вывести математиков на широкую дорогу обобщений.

Коперник геометрии

«Чем Коперник был для Птолемея, тем был Лобачевский для Эвклида. Между Коперником и Лобачевским существует поучительная параллель. Коперник и Лобачевский — оба славяне по происхождению. Каждый из них произвел революцию в научных идеях, и значение каждой из этих революций одинаково велико. Причина громадного значения той и другой революции заключается в том, что они суть революции в нашем понимании космоса», — писал молодой, жизнерадостный, но уже неизлечимо больной чахоткой английский математик Вильям Клиффорд. Писал спустя едва ли двадцать лет после смерти великого русского геометра.

11 февраля 1826 года в Казанском университете состоялось заседание физико-математического отделения, на котором слушался доклад профессора математики Николая Ивановича Лобачевского, посвященный доказательству «теоремы о параллельных». Коллеги без особой охоты сходились в этот ненастный февральский день на совещание.

В университете любили порывистого, безотказного Лобачевского, который всегда охотно откликался на просьбы товарищей. Кто не помнил, что именно Николай Иванович взялся читать математику на всех курсах вместо уехавшего в Дерпт (ныне Тарту) профессора Бартельса. А когда из отпуска не вернулся в Казань профессор физики Броннер, то Лобачевский принял на свои плечи и его курс одновременно с заведованием физическим кабинетом и заботами о его оборудовании. Он замещал астронома Симонова, ушедшего в плавание с экспедицией Беллинсгаузена, и пекся о судьбе университетской обсерватории. Библиотека — любимое детище Лобачевского, особенно ее физико-математический раздел… Он декан отделения и едва ли не самый активный член строительного комитета, курирующего постройку главного корпуса университета. Непонятно, когда он успевает еще заниматься наукой.

Некоторое время тому назад Лобачевский передал совету отделения свое сочинение, озаглавленное «Сжатое изложение начал геометрии со строгим доказательством теоремы о параллельных». Но ни профессора Симонов и Купфер, ни адъюнкт Брашман не спешили с отзывом. Более того, ходили слухи, что мемуар профессора Лобачевского недоступен пониманию нормального человека. Профессора заранее жалели коллегу, на которого нашло затмение… Но вот он на кафедре. Густые, темные, вечно перепутанные в беспорядке волосы, пронзительный взгляд глубоко посаженных серых глаз.

В университете Лобачевский в восемнадцать лет стал магистром. Три года спустя его раньше срока производят в адъюнкт-профессора, а еще через два года он получает кафедру чистой математики и должность профессора. В те годы люди рано стремились к зрелости. Двадцатилетний молодой человек без специальности, без образования, без дела твердо считался пустоцветом и оболтусом. Сто пятьдесят лет назад не могли возникнуть восторги по поводу «запоздалого инфантилизма» — столь модной в наше время проблемы. Конечно, жизнь наших современников стала длиннее. Но вряд ли срок, отпущенный природой на свершение великих дел, возрос так же пропорционально. Долгая старость — не просто время отдыха человека, и право на поучения не дает только седая борода. Мудрость, как и честь, копится смолоду, и счастлив и велик тот народ, чья молодость чтит своих стариков. Но каждую награду следует заслужить…

«Господа, — начал Лобачевский, — трудности понятий увеличиваются по мере их приближения к начальным истинам в природе… Эвклидовы „Начала“, несмотря на все блистательные успехи наши в математике, сохранили до сих пор первобытные свои недостатки…»

Сколько пришлось ему передумать, прежде чем он отважился заявить об этом с трибуны, прежде чем в результате трудной и мучительной работы мысли открылся ему удивительный путь от попытки доказательства пятого постулата Эвклида к неведомому. Путь, который привел его к открытию нового мира с новой системой измерения — новой геометрией.

«…Изложение всех моих исследований в надлежащей связи потребовало бы слишком много места и представления совершенно в новом виде всей науки…»

Ход рассуждений докладчика действительно чрезвычайно сложен, хотя и строго логичен. Размышляя над возможностями доказательства пятого постулата Эвклида, Лобачевский подумал: а не попытаться ли идти от противного? Предположим, мы оставим четыре начальных постулата в неприкосновенности и отбросим пятый? Или еще лучше, отбросим пятый постулат и потребуем, что через точку, находящуюся вне прямой, можно провести не одну, а целый пучок прямых, параллельных данной? И на новой системе аксиом попытаемся построить новую геометрию… Очевидно, что труд сей должен привести к одному из двух:

либо, если пятый постулат является следствием первых четырех, новая система где-то придет к абсурду, так как строится она на предположении, противоречащем следствию;

либо, если логического противоречия в новой геометрии не окажется, это будет служить доказательством того, что пятый постулат совершенно не зависит от остальных.

Тогда новая система взглядов явится геометрией, описывающей некий воображаемый, отличный от Эвклидова, мир. Мир, в котором через точку, лежащую вне прямой, можно провести множество прямых, не пересекающихся с данной… Лобачевский все еще пробует пояснить ход своих мыслей и переходит к следствиям, вытекающим из эвклидовых постулатов.

«В новой геометрии два только предложения возможны — продолжает оратор, не обращая внимания на созревшее у слушателей отчетливое недоумение, — или сумма трех углов во всяком прямолинейном треугольнике равна двум прямым углам — это предположение составит обыкновенную геометрию; или во всяком прямолинейном треугольнике эта сумма менее двух прямых, и это последнее предположение служит основанием особой геометрии, которой я дал название „воображаемой геометрии“».

Коллеги перешептываются, улыбаются, не понимая, зачем профессору Лобачевскому эта чушь, зачем понадобилось ниспровергать существующий порядок его величества здравого смысла. Эх, молодость, молодость… А ведь разумен, энергичен. Ну ничего, остепенится, оставит глупости…

Его даже не пытались понять. Впрочем, может быть, не могли?.. Может быть, перед нами обычная трагедия гения — человека, идущего впереди своей эпохи?.. Особенно нелепо звучал для математиков вывод Лобачевского о том, что в «воображаемой геометрии» угол треугольника зависел от длины его сторон… Эго уже «не лезло ни в какие ворота». Разве что доказывало полную нелепость развиваемых взглядов. Ведь любая сторона треугольника — отрезок. Отрезок можно измерить. Можно дюймами, можно вершками, аршинами, верстами, наконец, метрами или километрами, если господину Лобачевскому так нравятся меры длины, введенные революционной Францией. А что такое угол? Отвлеченная величина, измеряемая градусами или радианами. Какая же связь может существовать между несоизмеримыми разнородными величинами?