Занимательно о космологии

Теперь вернемся к нашим «расплющенным» мыслителям, живущим на поверхности здоровенного шара, но не знающим этого. Их геометрия ничем не отличается от эвклидовой. Точно так же они станут утверждать, что прямые линии бесконечны, треугольники подобны, а параллельные никогда не пересекаются.

И вот приходим в этот плоский мир мы с вами. Нам тоже пришлось расплющиться. Вы не возражаете? Но все равно и в этом непривычном состоянии мы с вами гиганты мысли. Мы строим на поверхности шара, которую тамошние интеллектуалы именуют плоскостью, треугольник. И предлагаем измерить сумму его углов. Плоскуны-геометры меряют — вроде 180°. В пределах ошибки. Тогда мы растаскиваем, растягиваем стороны треугольника на полмира, в смысле на полшара. Плоскуны снова измеряют и обнаруживают… Ну мы-то, конечно, с самого начала знали, что сумма углов в криволинейном треугольнике не равна 180°, и потому не удивляемся этому результату.

Итак, на поверхности сферы сумма углов треугольника оказывается больше двух прямых, больше 180°. Попробуем сделать еще одну проверку, на этот раз первого постулата: «Из каждой точки к каждой точке можно провести прямую линию (и притом только одну)». Но «прямыми» на сфере являются дуги больших кругов — меридианы. А таких, от полюса до полюса, например, можно провести бесчисленное количество. Опять промах.

Второй постулат: «и чтобы ограниченную прямую можно было непрерывно продолжать по прямой». Отправимся в кругосветное путешествие, держась все время строго одного направления. Мы объехали сферический мир и вернулись к следам своих мокасин… Это значит, что законы Эвклида для сферы неприемлемы. Шар требует другой, неэвклидовой геометрии.

Подобный пример в свое время заставил Гаусса крепко задуматься. Как же быть тогда с нашим собственным миром? Действительно ли правдоподобные, но совершенно бездоказательные постулаты Эвклида отражают объективную реальность? А может быть, истинные законы геометрии нашего физического мира совсем иные?.. Вот когда понадобилась впервые проверка геометрии опытом. Нет, нет, Карл Фридрих Гаусс вовсе не собирался взрывать систему Эвклида, как это сделал в свое время Галилей со взглядами Аристотеля. У Карла Фридриха был не тот характер. Но истине он служил честно. Истина же требовала проверки.

Потихоньку, воспользовавшись наличием в своем топографическом хозяйстве угломерных инструментов, Гаусс выбирает вершины трех гор, хорошо заметных на горизонте. То были Хохер-Хаген, Инзельсберг и знаменитый Брокен — согласно поверьям, излюбленное место шабаша ведьм. Вершины составили подходящий по величине треугольник. Гаусс измеряет его углы со всей доступной инструментам точностью. Измеряет, считает, снова измеряет. Нет! Никакого отклонения от 180° сумма углов треугольника не давала. Разочарование?

Конечно! Однако Гаусс никому о нем не говорит. Он не уверен в собственной интуиции и неоднократно в письмах к друзьям то выражает свое недоверие Эвклиду, то снова принимает его взгляды безоговорочно. В конце концов он все-таки отказался от постулатов, заменив их фундаментальными величинами, которые можно точно измерить в каждой точке поверхности, воспользовавшись для этого системой изобретенных им криволинейных (гауссовых) координат. Эти измерения сами по себе дают понятие о кривизне поверхности независимо от пространства, в котором эта поверхность находится. Ведь о форме поверхности мы судим, как правило, извне, держа ее в руках или перед глазами.

Так, лист бумаги, лежащий перед вами на столе, — плоскость. А рулон линолеума имеет цилиндрическую поверхность. А как мы убеждаемся в том, что Земля — шар? Когда в Ленинграде вы смотрите на ночное небо, Полярная звезда стоит высоко над головой. Но погрузитесь в самолет. Через три часа вы на берегу Черного моря. Темной южной ночью поищите свою знакомую Полярную звезду, и вы заметите, как сильно сместилась она к горизонту. На море есть и еще одна возможность ощутить округлость земного бока. Уходит от берега корабль. И чем дальше, тем глубже, кажется нам, погружается он в пучину. Сначала исчезает корпус, потом трубы и наконец мачты… Кругла Земля! Третье измерение позволяет нам зафиксировать этот факт из внешнего, окружающего нашу поверхность пространства. Эта кривизна так и называется внешней, и характеризуется она уже знакомым нам радиусом кривизны.

А как быть, если у нас нет никакой информации о внешнем пространстве? Помните, мы же с вами добровольно согласились расплющиться. Пожалуй, наряду с кривизной внешней должна существовать и кривизна внутренняя, характеризующая поверхность из ее собственных внутренних свойств. Конечно, эта характеристика не столь наглядна. Но получается она благодаря измерениям, производимым на самой поверхности.

Лучше же всего характеризовать кривизну любой поверхности так называемой полной, или гауссовой, кривизной. Тут мы подходим к замечательному открытию, которое совершил Гаусс, исследуя искривленные поверхности.

«Великолепная теорема» Гаусса

Давайте вспомним или познакомимся с тем, как обычно геометры характеризуют кривизну искривленной поверхности в окрестностях избранной точки M. Прежде всего они строят плоскость, касательную к поверхности в исследуемой точке, и восстанавливают перпендикуляр. Затем проводят через перпендикуляр множество секущих плоскостей. Каждая из них пересекает поверхность по какой-то кривой, которую вблизи точки M можно считать частью окружности большего или меньшего радиуса. И вот оказывается, что окружности самого большого и самого маленького радиусов лежат всегда во взаимно перпендикулярных плоскостях сечения. Геометры берут величины, обратные этим радиусам (их называют главными радиусами кривизны), и перемножают:

1/R _max · 1/ R _min = K

Получают, полную, или гауссову, кривизну.

Конечно с точки зрения двухмерных жителей искривленной поверхности касательная плоскость, перпендикуляр к ней, секущие плоскости и все, что выходит за пределы двухмерного мира, — все это недоступно пониманию двухмерного разума, все это для него мираж, нереальность и фантастика. Как же быть?.. И вот Гаусс доказал, что полная кривизна может быть без всяких дополнительных построений выражена через результаты измерений на самой поверхности. Понимаете, независимо от внешнего, окружающего пространства! Это открытие получило название «великолепной теоремы».

Красиво, правда? Любили предки оформлять свои достижения. Любили и умели, нужно отдать им должное.

Величие гауссовой теоремы заключается в том, что полная кривизна абсолютно характеризует поверхность в исследуемой точке. Она доступна жителям двухмерного мира и определяет ту геометрию, которую следует им применять. Плоскуны и плоскатики могут вообще не иметь понятия, что такое «кривизна» собственного мира. Но, получив путем измерений абстрактную величину гауссовой кривизны, равную нулю, они должны пользоваться самым простым типом геометрии — эвклидовой. Если же число К окажется на всей поверхности одинаковым и больше нуля, ряд постулатов Эвклида теряет смысл и нужно применять законы другой — сферической геометрии.

Вообще говоря, «внутренняя» и «внешняя» геометрии могут сильно отличаться друг от друга. Возьмем, например, три геометрические фигуры: плоскость, цилиндр и конус. Внешне выглядят они совсем по-разному. А внутренняя их суть?..

Давайте раздвоимся. Пусть одна наша половинка расплющится и перейдет жить на плоскость, ну хотя бы на лист этой книги. Вторая же часть пусть продолжает сидеть или лежать, держа уцелевшей рукой книгу перед уцелевшим глазом. А теперь аккуратно свернем лист в цилиндр или в конус-кулек и зададим своей расплющенной половинке несколько вопросов.