Живая математика. Математические рассказы и головоломки

Второй пример. В Австралии не существовало кроликов, когда этот материк открыт был европейцами. Кролик ввезен туда в конце XVIII века, и так как там отсутствуют хищники, питающиеся кроликами, то размножение этих грызунов пошло необычайно быстрыми темпами.

Рис. 77. Полчища кроликов наводнили Австралию

Вскоре полчища кроликов наводнили всю Австралию, нанося страшный вред сельскому хозяйству и превратившись в подлинное бедствие. На борьбу с этим бичом сельского хозяйства брошены были огромные средства, и только благодаря энергичным мерам удалось справиться с бедой. Приблизительно то же самое повторилось позднее с кроликами в Калифорнии.

Третья поучительная история произошла на острове Ямайка. Здесь водились в изобилии ядовитые змеи. Чтобы от них избавиться, решено было ввезти на остров птицу-секретаря, яростного истребителя ядовитых змей. Число змей действительно вскоре уменьшилось, зато необычайно расплодились полевые крысы, раньше поедавшиеся змеями. Крысы приносили такой ущерб плантациям сахарного тростника, что пришлось серьезно подумать об их истреблении. Известно, что врагом крыс является индийский мангуст. Решено было привезти на остров 4 пары этих животных и предоставить им свободно размножаться. Мангусты хорошо приспособились к новой родине и быстро заселили весь остров. Не прошло и десяти лет, как они почти уничтожили на нем крыс.

Рис. 78. Птица-секретарь - истребитель змей

Рис. 79. Мангусты быстро заселили остров

Но, увы, истребив крыс, мангусты стали питаться чем попало, сделавшись всеядными животными: нападали на щенят, козлят, поросят, домашних птиц и их яйца. А размножившись еще более, принялись за плодовые сады, хлебные поля, плантации. Жители приступили к уничтожению своих недавних союзников, но им удалось лишь до некоторой степени ограничить приносимый мангустами вред.

60. Бесплатный обед

I

Десять молодых людей решили отпраздновать окончание средней школы товарищеским обедом в ресторане. Когда все собрались и надо было подавать блюда, заспорили о том, как усесться вокруг стола. Одни предлагали разместиться в алфавитном порядке, другие - по возрасту, третьи - по успеваемости, четвертые - по росту и т. д. Спор затянулся, суп успел остыть, а за стол никто не садился.

Рис. 80. «Сядьте за стол как кому придется…»

Примирил всех официант, обратившийся к ним с такой речью:

–  Молодые друзья мои, оставьте ваши пререкания. Сядьте за стол как кому придется и выслушайте меня. Все сели как попало. Официант продолжал:

–  Пусть один из вас запишет, в каком порядке вы сейчас сидите. Завтра вы снова явитесь сюда пообедать и разместитесь уже в ином порядке. Послезавтра сядете опять по-новому и т. д., пока не попробуете все возможные размещения. Когда же придет черед вновь сесть так, как сидите вы здесь сегодня, тогда - обещаю торжественно - я начну ежедневно угощать вас бесплатно самыми изысканными обедами.

Предложение понравилось.

Решено было ежедневно собираться в этом ресторане и перепробовать все способы размещения за столом, чтобы скорее начать пользоваться бесплатными обедами.

Однако им не пришлось дождаться этого дня. И вовсе не потому, что официант не исполнил обещания, а потому, что число всех возможных размещений за столом чересчур велико.

Рис. 81. Решено было перепробовать все способы размещения за столом

Оно равняется ни мало ни много - 3 628 800. Такое число дней составляет, как нетрудно сосчитать, почти 10 000 лет!

II

Вам, быть может, кажется невероятным, чтобы 10 человек могли размещаться таким большим числом различных способов. Проверьте расчет сами.

Рис. 82. Назовем предметы А, Б и В

Раньше всего надо научиться определять число перестановок. Для простоты начнем вычисление с небольшого числа предметов - с трех. Назовем их А, Б и В.

Мы желаем узнать, сколькими способами возможно переставлять их один на место другого. Рассуждаем так. Если отложить пока в сторону вещь В, то остальные две можно разместить только двумя способами (рис. 83).

Теперь будем присоединять вещь В к каждой из этих пар. Мы можем сделать это трояко: можем

1) поместить В позади пары,

2)» В впереди пары,

3)» В между вещами пары.

Других положений для вещи В, кроме этих трех, очевидно, быть не может. А так как у нас две пары - АБ и БА, то всех способов разместить вещи наберется

2x3 = 6.

Рис. 83. Две вещи можно разместить только двумя способами

Рис. 84. Три вещи можно разместить шестью способами

Способы эти показаны на рис. 84.

Пойдем дальше - сделаем расчет для 4 вещей. Пусть у нас 4 вещи: А, Б, В, и Г. Опять отложим пока в сторону одну вещь, например Г; ас остальными тремя сделаем все возможные перестановки.

Мы знаем уже, что число этих перестановок - 6. Сколькими же способами можно присоединить четвертую вещь Г к каждой из 6 троек? Очевидно, четырьмя: можно

1) поместить Г позади тройки;

2)» Г впереди тройки;

3)» Г между 1-й и 2-й вещью;

4)» Г между 2-й и 3-й вещью.

Всего получим, следовательно,

6 х 4 = 24 перестановки;

а так как 6 = 2 х 3 и 2 = 1 х 2, то число всех перестановок можно представить в виде произведения:

1 x 2 x 3 x 4 = 24.

Рассуждая таким же образом в случае 5 предметов, узнаем, что для них число перестановок равно

1 х 2 х З х 4 х 5 = 120.

Для 6 предметов:

1 х 2 х З х 4 х 5 х 6 = 720 и т. д.

Обратимся теперь к случаю с 10 обедающими. Число возможных здесь перестановок определится, если дать себе труд вычислить произведение

1 х 2 х 3 х 4 х 5 х 6 х 7 х 8 х 9 х 10.

Тогда и получится указанное выше число 3 628 800.

III

Расчет был бы сложнее, если бы среди 10 обедающих было 5 девушек и они желали бы сидеть за столом непременно так, чтобы чередоваться с юношами. Хотя число возможных перемещений здесь гораздо меньше, вычислить его несколько труднее.