Живая математика. Математические рассказы и головоломки

66. Плотничий уровень

Вам знаком, конечно, плотничий уровень с газовым пузырьком (рис. 97), отходящим в сторону от метки, когда основание уровня имеет наклон. Чем больше этот наклон, тем больше отодвигается пузырек от средней метки.

Причина движения пузырька та, что, будучи легче жидкости, в которой он находится, он всплывает вверх. Но если бы трубка была прямая, пузырек при малейшем наклоне отбегал бы до самого конца трубки, т. е. до наиболее высокой ее части. Такой уровень, как легко понять, был бы на практике очень неудобен. Поэтому трубка уровня берется изогнутая, как показано на рисунке. При горизонтальном положении основания такого уровня пузырек, занимая высшую точку трубки, находится у ее середины; если же уровень наклонен, высшей точкой трубки становится уже не ее середина, а некоторая соседняя с ней точка, и пузырек отодвигается от метки на другое место трубки [23] .

23

Точнее было бы сказать: «Метка отодвигается от пузырька», потому что пузырек остается на месте, а трубка с меткой скользит мимо него.

Рис. 97. Плотничий уровень

Рис. 98

Вопрос задачи состоит в том, чтобы определить, на сколько миллиметров отодвинется от метки пузырек, если уровень наклонен на полградуса, а радиус дуги изгиба трубки - 1 м.

67. Число граней

Вот вопрос, который, без сомнения, покажется многим слишком наивным или, напротив, чересчур хитроумным.

Сколько граней у шестигранного карандаша?

Раньше чем заглянуть в ответ, внимательно вдумайтесь в задачу.

68. Лунный серп

Фигуру лунного серпа (рис. 98) требуется разделить на 6 частей, проведя всего только 2 прямые линии.

Как это сделать?

69. Из 12 спичек

Из 12 спичек можно составить фигуру креста (рис. 99), площадь которого равна 5 «спичечным» квадратам. Измените расположение спичек так, чтобы контур фигуры охватывал площадь, равную только 4 «спичечным» квадратам. Пользоваться при этом услугами измерительных приборов нельзя.

Рис. 99

Рис. 100

70. Из 8 спичек

Из 8 спичек можно составить довольно разнообразные замкнутые фигуры. Некоторые из них представлены на рис. 100; площади их, конечно, различны.

Задача состоит в том, чтобы составить из 8 спичек фигуру, охватывающую наибольшую площадь.

71. Путь мухи

На внутренней стенке стеклянной цилиндрической банки виднеется капля меда в трех сантиметрах от верхнего края сосуда. А на наружной стенке в точке, диаметрально противоположной, уселась муха (рис. 101).

Укажите мухе кратчайший путь, по которому она может добежать до медовой капли.

Высота банки 20 см; диаметр 10 см.

Не полагайтесь на то, что муха сама отыщет кратчайший путь и тем облегчит вам решение задачи: для этого ей нужно было бы обладать геометрическими познаниями, слишком обширными для мушиной головы.

Рис. 101. Укажите мухе кратчайший путь к медовой капле

72. Найти затычку

Перед вами дощечка (рис. 102) с тремя отверстиями: квадратным, треугольным и круглым. Может ли существовать одна затычка такой формы, чтобы закрывать все эти разновидные отверстия?

Рис. 102. Найдите одну затычку к этим трем отверстиям

73. Вторая затычка

Если вы справились с предыдущей задачей, то, быть может, вам удастся найти затычку и для таких отверстий, какие показаны на рис. 103?

74. Третья затычка

Наконец, еще задача в том же роде: существует ли одна затычка для трех отверстий (рис. 104)?

75. Продеть пятак

Запаситесь двумя монетами современной [24] чеканки: 5-копеечной и 2-копеечной. На листке бумаги сделайте кружок, в точности равный окружности 2-копеечной монеты, и аккуратно вырежьте его.

24

Монеты достоинством в 5 и 2 коп., имевшие хождение в 1930-е годы, имели следующие размеры: пятак – 2,5 см, двухкопеечная монета – 1,8 см (монеты эти изображены на рис. 94 и 95). –Прим. ред.

Рис. 103. Существует ли одна затычка к трем отверстиям такой формы?

Рис. 104. Можно ли для этих трех отверстий изготовить одну затычку?

Как вы думаете: пролезет пятак через эту дырку? Здесь нет подвоха - задача подлинно геометрическая.

76. Высота башни

В нашем городе есть достопримечательность - высокая башня, высоты которой вы, однако, не знаете. Имеется у вас и фотографический снимок башни на почтовой карточке. Как может этот снимок помочь вам узнать высоту башни?

77. Подобные фигуры

Эта задача предназначается для тех, кто знает, в чем состоит геометрическое подобие. Требуется ответить на следующие два вопроса:

1) В фигуре чертежного треугольника (рис. 105) подобны ли наружный и внутренний треугольники?

2) В фигуре рамки (рис. 106) подобны ли наружный и внутренний четырехугольники?

Рис. 105. Подобны ли наружный и внутренний треугольники?

Рис. 106. Подобны ли наружный и внутренний четырехугольники?

78. Тень проволоки

Как далеко в солнечный день тянется в пространстве полная тень, отбрасываемая телеграфной проволокой, диаметр которой 4 мм?

79. Кирпичик

Строительный кирпич весит 4 кг. Сколько весит игрушечный кирпичик из того же материала, все размеры которого в 4 раза меньше?

80. Великан и карлик

Во сколько примерно раз великан ростом 2 м тяжелее карлика ростом 1 м?

81. Два арбуза

Продаются два арбуза неодинаковых размеров. Один на четвертую долю шире другого, а стоит он в 1 ¹/₄ раза дороже.

Какой из них выгоднее купить (рис. 107)?

82. Две дыни

Продаются две дыни одного сорта. Одна окружностью 60, другая - 50 см. Первая в полтора раза дороже второй.