Живая математика. Математические рассказы и головоломки
Шрифт:
– «Только» 18 триллионов с лишком, если называть триллионом миллион миллионов.
– Погоди, я сейчас перемножу и проверю.
– Прекрасно. А пока будешь умножать, я успею сходить по своим делам.
И брат ушел, оставив меня погруженным в выкладки. Я нашел сначала произведение 16 двоек, затем умножил этот результат - 65 536 - сам на себя, а то, что получилось, - снова на себя. Потом не забыл отнять единицу.
У меня получилось такое число [19] :
19
Читателю уже знакомо это
18 446 744 073 709 551 615. Брат, значит, был прав.
Вам, вероятно, интересно было бы знать, какими числами в действительности определяется возраст мира. Ученые располагают на этот счет некоторыми, конечно, лишь приблизительными данными:
Солнце существует…10 000 000 000 000 лет
Земной шар…2 000 000 000»
Жизнь на Земле… 300 000 000»
Человек…300 000»
В столовой дома отдыха за обедом зашла речь о том, как вычисляется вероятность событий. Молодой математик, оказавшийся среди обедающих, вынул монету и сказал:
– Кидаю на стол монету не глядя. Какова вероятность, что она упадет гербом вверх?
– Объясните сначала, что значит «вероятность», - раздались голоса.
– Не всем ясно.
Рис. 87. Монета может лечь на стол двояко
– О, это очень просто! Монета может лечь на стол двояко: вот так - гербом вверх и вот так - гербом вниз. Всех случаев здесь возможно только два. Из них для интересующего нас события благоприятен лишь один случай. Теперь находим отношение
Дробь 1/2 и выражает «вероятность» того, что монета упадет гербом вверх.
– С монетой-то просто, - вмешался кто-то.
– А вы рассмотрите случай посложней, с игральной костью например.
– Давайте рассмотрим, - согласился математик.
– У нас игральная кость, кубик с цифрами на гранях. Какова вероятность, что брошенный кубик упадет определенной цифрой вверх, скажем, вскроется шестеркой? Сколько здесь всех возможных случаев? Кубик может лечь на любую из своих шести граней; значит, возможно всего 6 случаев. Из них благоприятен нам только один: когда вверху шестерка. Итак, вероятность получится от деления 1 на 6. Короче говоря, она выражается дробью 1/6.
– Неужели можно вычислить вероятность во всех случаях?
– спросила одна из отдыхающих.
– Возьмите такой пример. Я загадала, что первый прохожий, которого мы увидим из окна столовой, будет мужчина. Какова вероятность, что я отгадала?
– Вероятность, очевидно, равна половине, если только мы условимся и годовалого мальчика считать за мужчину. Число мужчин на свете равно числу женщин.
– А какова вероятность, что первые двое прохожих окажутся оба мужчинами?
– спросил один из отдыхающих.
– Этот расчет немногим сложнее. Перечислим, какие здесь вообще возможны случаи. Во-первых, возможно, что оба прохожих будут мужчины. Во-вторых, что сначала покажется мужчина, за ним женщина. В-третьих, наоборот: что раньше появится женщина, потом мужчина. И, наконец, четвертый случай: оба прохожих - женщины. Итак, число всех возможных случаев - 4. Из них благоприятен, очевидно, только один случай - первый. Получаем для вероятности дробь 1/4. Вот ваша задача
и решена.– Понятно. Но можно поставить вопрос и о трех мужчинах: какова вероятность, что первые трое прохожих все окажутся мужчинами?
– Что же, вычислим и это. Начнем опять с подсчета возможных случаев. Для двоих прохожих число всех случаев равно, мы уже знаем, четырем. С присоединением третьего прохожего число возможных случаев увеличивается вдвое, потому что к каждой из четырех перечисленных группировок двух прохожих может присоединиться либо мужчина, либо женщина. Итого, всех случаев возможно здесь 4 х 2 = 8. А искомая вероятность, очевидно, равна 1/8, потому что благоприятен событию только 1 случай. Здесь легко подметить правило подсчета:
в случае двух прохожих мы имели вероятность
в случае трех -
Рис. 88. Игральная кость
в случае четырех - вероятность равна произведению четырех половинок и т. д.
Вероятность все уменьшается, как видите.
– Чему же она равна, например, для десятка прохожих?
– То есть какова вероятность, что первые десять прохожих все кряду окажутся мужчинами? Вычислим, как велико произведение десяти половинок. Это - 1/1024, менее одной тысячной доли. Значит, если вы бьетесь об заклад, что это случится, и ставите 1 рубль, то я могу ставить 1000 рублей за то, что этого не произойдет,
– Выгодное пари, - заявил чей-то голос.
– Я бы охотно поставил рубль, чтобы получить возможность выиграть целую тысячу.
– Но имеется тысяча шансов против вашего одного, учтите и это.
– Ничего не значит. Я бы рискнул рублем против тысячи даже и за то, что сотня прохожих окажутся все подряд мужчинами.
– А вы представляете себе, как мала вероятность такого события?
– спросил математик.
– Одна миллионная или что-нибудь в этом роде?
– Неизмеримо меньше! Миллионная доля получится уже для 20 прохожих. Для сотни прохожих будем иметь… Дайте-ка я прикину на бумажке. Миллиардная… Триллионная… Квадриллионная… Ого! Вероятность равна единице, деленной на единицу с тридцатью нулями!
– Только и всего?
– Вам мало 30 нулей? Вы знаете, что в океане нет и тысячной доли такого числа мельчайших капелек?
– Внушительное число, что и говорить! Сколько же вы поставите против моей копейки?
– Ха-ха!… Все! Все, что у меня есть.
– Все - это слишком много. Ставьте на кон ваш велосипед. Ведь не поставите?
– Почему же нет? Пожалуйста! Пусть велосипед, если желаете. Я нисколько не рискую.
– И я не рискую. Невелика сумма копейка. Зато могу выиграть велосипед, а вы почти ничего.
– Да поймите же, что вы проиграете наверняка! Велосипед никогда не достанется, а копейка ваша, можно сказать, уже в моем кармане.
– Что вы делаете!
– удерживал математика приятель.
– Из-за копейки рискуете велосипедом. Безумие!
– Напротив, - ответил математик, - безумие ставить хотя бы одну копейку при таких условиях. Верный ведь проигрыш! Уж лучше прямо выбросить копейку.
– Но один-то шанс все же имеется?
– Одна капля в целом океане. В десяти океанах! Вот ваш шанс. А за меня десять океанов против одной капельки. Мой выигрыш так же верен, как дважды два - четыре.