Фейнмановские лекции по гравитации

6.3. Построение инвариантов по отношению к инфинитезимальным преобразованиям

Для того, чтобы решить задачу построения решений, удовлетворяющих уравнению (6.2.3), мы преобразуем это уравнение в некоторое эквивалентное утверждение о свойствах функционала F. Вначале заметим, что уравнение (6.2.3) есть векторное уравнение. Если мы возьмём скалярное произведение этого уравнения с произвольным вектором A(x). и проинтегрируем по всему пространству, то мы получим уравнение, которое выглядит несколько иначе

d

A

(x)

g

(x)

F

h

,

+

A

(x)

[,]

F

h

=

0.

(6.3.1)

Если функционал F удовлетворяет уравнению (6.3.1) для произвольного вектора A, тогда этот функционал удовлетворяет уравнению (6.2.3). Теперь мы можем проинтегрировать по частям первый член в подынтегральном выражении, так что мы избавляемся от градиента по отношению к . Мы получаем, что

d

F

h

– (

A

(x)

i

(x)

)

_,

+

[,]

A

(x)

=

0.

(6.3.2)

Мы поместили черту под дифференциалом d для того, чтобы он напоминал нам, что мы должны взять усреднение этого интеграла, и в соответствующем интеграле, имеющем индексы и , происходит чередование индексов, а так как тензор h– симметричен, то имеющее смысл математическое тождество получается только в том случае, если скобка также симметрична по индексам и . Мы можем проинтерпретировать это уравнение (6.3.2) другим способом. Мы замечаем, что если мы делаем замену в первом порядке в тензоре h, скажем, пусть h меняется на h+ то величина функционала F меняется следующим образом:

F[h

+

]

=

F[h

]

+

F

h

+

… .

(6.3.3)

Следовательно, наше уравнение (6.3.2) говорит нам, что для инфинитезимального и в форме, появляющейся в уравнении (6.3.2), величина F остаётся неизменным.

Пусть тензорное поле h меняется инфинитезимальным преобразованием A на тензор h'. Выражаем h' согласно правилу, подразумеваемому в соотношении (6.3.2), как показано в следующем соотношении (мы должны помнить, что надо симметризовать выражение по индексам и использовать явное выражение для [,]):

h'

=

h

–

1

2

g

_,

A

–

gA_,

.

(6.3.4)

Положим для удобства -A= и запишем уравнение через g вместо h следующим образом:

g'

=

g

+

g

_,

+

g

_,

+

g

_,

.

(6.3.5)

Тогда наша задача становится следующей: найти выражение для функционала F от метрики g такое, что при инфинитезимальных преобразованиях, описываемых соотношениями (6.3.5), которые меняют тензор g на тензор g', функционал F не меняется в первом порядке малости по при любом (x). Методы для решения уравнений, аналогичных исследуемому нами, были разработаны математиками¹, работающими в дифференциальной геометрии (фактически очень близкая задача решается в дифференциальной геометрии), итак мы будем предполагать, как и хорошо образованные венерианские физики, что книги, дающие нам намёки на то, как приступить к решению, являются доступными.

¹ См., например, книгу Веблена [Vebl 27].

Фактически, можно проверить, что преобразование, определяемое соотношением (6.3.5), есть преобразование тензорного поля при инфинитезимальном преобразовании координат x=x'+. Однако, мы будем продолжать играть в нашу игру и попытаемся вывести наши результаты как венериане, не осознающие никакой геометрической интерпретации. Конечно, мы будем возвращаться назад и обсуждать геометрическую точку зрения при обсуждении точки зрения Эйнштейна.

Теперь приступим к нахождению желаемого инвариантного выражения для F. Для того, чтобы найти это выражение, полезно определить матрицу, которая обратна g, используя верхние индексы вместо нижних, что оказывается в данном случае предпочтительным, т.е.

g

g

=

,

(6.3.6)

где теперь

– правильный символ Кронекера, который равен 1, если =, и нулю, если /=.

Обратная к матрице A'=A+B, если B - инфинитезимальна, задаётся следующим выражением:

1

A'

=

1

A

–

1

A

B

1

A

+

1

A

B

1

A

B

1

A

– … .

(6.3.7)

Так как вектор инфинитезимален, мы можем легко построить тензор, обратный к тензору g', согласно правилу, выраженному в соотношении (6.3.7)

g'

=

g

–

_,

g

–

_,

g

–

g

g

g

_,

+ … .

(6.3.8)

Теперь исследуем кратко один инвариант, который может быть легко найден, для того, чтобы понять используемые методы, а в следующем разделе построим более сложный инвариант, который приведёт нас к нашей полной теории.

Рассмотрим, как меняется определитель матрицы, если мы слегка меняем матрицу. Мы используем следующее выражение для определителя:

Det A

=

exp(Tr log A)

.

(6.3.9)

Мы не будем останавливаться здесь для обсуждения доказательства такого равенства;¹ однако для того, чтобы показать, что оно выглядит разумным, мы могли бы заметить, что это утверждение становится тривиальным справедливым утверждением в случае, если матрица записала в диагональном виде: