Фейнмановские лекции по гравитации

2

1

ds

=

0.

(7.3.3)

Именно Эйнштейн высказал гипотезу, что этот принцип будет описывать движение в присутствии гравитационных полей. С использованием этого принципа была решена задача нахождения уравнений движения, задаваемого этим полем. Оставшаяся проблема сейчас состоит в том, чтобы связать потенциал , который появляется в этом выражении, с окружающей средой. Это было огромной проблемой до Эйнштейна. Как мы можем получить правильное выражение для потенциала ? Что происходит, если мы используем неверную теорию гравитации, как если бы мы работали в системе, в которой имеются центробежные силы, но мы не знали бы этого? Мы видели, что гравитационные силы запутанно смешены с силами инерции, так что мы не можем сделать универсально правильного разделения на эти две силы.

Догадка Эйнштейна и состояла в том, что в подобных ситуациях не должно иметь значения, рассматриваем ли мы универсально правильное значение потенциала или нет; если этот потенциал корректно определён, то описание физики должно быть независимо от того, каким частным образом мы разделили инерциальные и гравитационные эффекты. Таким образом, для того, чтобы сконструировать формулу для , которая бы удовлетворяла этому свойству, мы должны изучить очень тщательно способ, пользуясь которым, интервал собственного времени ds выражается в различных координатных системах, когда мы применяем преобразования такие, которые мы символически записывали как ”гравитация' = гравитация + ускорение”. Такое изучение может позволить нам построить выражение для ds, которое является инвариантным при всех возможных преобразованиях.

7.4. Собственное время в общих координатах

Для того, чтобы получить формулу Эйнштейна для (ds)^2, мы должны рассмотреть системы отсчёта, которые не только ускоряются, но также находятся под действием сил, которые искажают их форму произвольным образом. Мы хотим получить общую формулу для координат, которая аналогична определению координатных систем, вращающихся друг относительно друга

x'

=

x

cos t

+

y

sin t

,

z'

=

z,

y'

=

y

cos t

–

x

sin t

,

t'

=

t,

(7.4.1)

Мы описываем ускорение общего вида и растяжение произвольного вида, устанавливая, как каждая из четырёх координат одной системы зависит от всех координат другой системы

x

=

x(

x',y',z',t'

),

z

=

z(

x',y',z',t'

),

y

=

y(

x',y',z',t'

),

t

=

t(

x',y',z',t'

).

(7.4.2)

Рассмотрим вначале ситуацию, которая возникает, когда =0. В этом случае мы знаем, что собственное время в нескрученной системе есть просто (здесь мы положим c=1)

(ds)^2

=

(dt)^2

–

(dx)^2

–

(dy)^2

–

(dz)^2

.

(7.4.3)

Для того, чтобы описать собственное время в штрихованных координатах, мы просто переписываем дифференциалы следующим образом:

dx

=

x

x'

dx'

,

(ds)^2

=

dx

dx

.

(7.4.4)

Это определяет метрический тензор g', который содержит описание длины дуги ds в произвольным образом скрученной и ускоренной системе

(ds)^2

=

x

x'

x

x'

dx'

dx'

=

g'

dx'

dx'

.

(7.4.5)

Заметим, что g' представляет десять функций координат (x',y',z',t'), так как имеется десять билинейных произведений dxdx. Метрический тензор - симметричен. Как только мы имеем эти десять функций точно определёнными, то нахождение траекторий, для которых собственное время достигает максимума, должно будет представлять собой чисто математическое упражнение.

Что же происходит, когда гравитация не равна нулю? В простом случае, который мы рассматривали в предыдущем разделе, мы нашли, что собственное время задаётся чем-то вроде следующего соотношения

(ds)^2

=

(1+2/c^2)

(dt)^2

–

(dx)^2

–

(dy)^2

–

(dz)^2

.

(7.4.6)

Это выражение только слегка отличается от случая, когда гравитационное поле равно нулю. Именно Эйнштейну принадлежала идея о том, что полное описание гравитации могло бы быть всегда определено метрическим тензором g, таким как

(ds)^2

=

g

dx

dx

.

(7.4.7)

Случай нулевого поля соответствует частной простой форме для метрического тензора g=. При изменении координатной системы новый метрический тензор задаётся соотношением:

g'

=

x

x'

x

x'

g

.

(7.4.8)

Как и ранее, движение частиц задаётся требованием, чтобы собственное время достигало максимального значения на траектории движения. Если возможно, используя некоторый разумный способ выбора преобразований, привести тензор к виду g'=, тогда мы можем сделать заключение, что гравитационного поля нет и что также нет и ускорения. Но это не может быть сделано в общем случае, так как общий тензор g представляет десять предположительно независимых функций, и только четыре функции могут быть точно определены при преобразовании координат (7.4.2). Только при очень специфических условиях ускорения могут устранить все недиагональные члены всюду и привести этот тензор к виду . Если же на самом деле имеется некоторое вещество в окружающей среде, приведение этого тензора к виду невозможно. В этом случае все возможные тензоры g, связываемые соотношениями (7.4.8), будут эквивалентны, так как ни один из них не приводит к очень простым выражениям для (ds)^2.

Каковы же наши успехи в изучении характера описания гравитационных сил? В ньютоновской теории соответствующее положение есть утверждение, что сила задаётся градиентом скалярной функции

Ньютоновская гравитация:

mx

=

F

_x

,

F

_x

=-

,

Теория Эйнштейна:

ds

=

0,

(ds)^2

=

g