Фейнмановские лекции по гравитации
Шрифт:
[,]
=
.
(6.4.3)
Если мы умножаем соотношение (6.4.2) на g для того, чтобы отделить оставшуюся вторую производную, то соотношение принимает вид, где используются новые символы (называемые коэффициентами голономной связности или символами Кристоффеля)
'
=
+
,
+
,
–
,
+
+
,
–
,
.
(6.4.4)
Это
,
'
–
,
'
=
,
,
+
,
,
+
,
+
+
,
–
,
–
– минус члены, где индексы и переставлены.
(6.4.5)
Теперь трюк заключается в том, чтобы избавиться от двух вторых производных. Они умножаются на индексы Кристоффеля. Но в соотношении (6.4.4) мы имеем выражение, которое даёт как раз ,. Мы будем использовать это выражение для того, чтобы заместить члены на те, которые стоят в соотношении (6.4.5). Это может быть выполнено путём вычисления произведения двух соотношений, таких как (6.4.4); мы видим, что индексы у символов Кристоффеля одного члена такие же, как и индексы у в другом члене; так что взяв произведения двух соотношений (6.4.4), одно из которых берётся со множеством индексов , другое со множеством , переставляя (,,) и складывая с соотношением (6.4.5), вторые производные сокращаются.
Введём новую величину R, определённую следующим образом
R
=
,
+
–
,
–
.
(6.4.6)
Заметим, что этот тензор явно антисимметричен по индексам и . Используя это обозначение, получаем наконец следующее соотношение
R'
=
R
+
,
R
+
,
R
+
+
,
R
+
,
R
+
R
,
.
(6.4.7)
То, что мы должны теперь делать, это обращаться с этим уравнением так же, как мы обращались с уравнением (6.3.5), которое имеет ту же самую форму, исключая то, что тензор в последнем соотношении предпочтительнее включать тензор R, а не g. Процедура, полностью аналогичная той, которая была рассмотрена
ранее, приводит к ответу для инвариантной величины F:F
=-
1
2^2
d
g
R
– Det g
.
(6.4.8)
Эта величина, как мы увидим ниже, есть часть действия в теории, справедливой во всех порядках.
6.5. Уравнение Эйнштейна для тензора энергии-импульса
Функционал F, который был только что выведен, даёт результаты в венерианской теории гравитации, идентичные тем, которые были получены Эйнштейном. Если мы делаем разложение функционала, когда гравитационные поля слабы, мы получаем главные члены нашего разложения такие же, как F^2 и F^3 в нашей более ранней теории. Мы можем сказать, следовательно, что наша венерианская точка зрения была успешна в достижении нашей цели построения самосогласованной теории гравитации посредством успешных логических шагов, предполагаемых по аналогии, но без видимого требования сверхчеловечески острой интуиции. Сам Эйнштейн, конечно, пришёл к тому же самому лагранжиану, но без помощи развитой теории поля, и я должен допустить, что у меня даже нет идеи, как он отгадал конечный результат. У нас было достаточно волнений при получении нашей окончательной теории, но я чувствую, что он создал свою теорию, плавая под водой, будучи с завязанными глазами и с руками, находящимися сзади! Тем не менее теперь, когда мы пришли к эквивалентной теории, мы откажемся от венерианской точки зрения и обсудим земную точку зрения согласно Эйнштейну.
Будем использовать следующее стандартное обозначение для трёх тензоров, выведенных из нашего тензора R, умножением на тензор g и свёртыванием:
g
R
=
Антисимметричен по индексам
и
,
R
=
R
,
g
R
=
R.
(6.5.1)
Величина R есть тензор (тензор Римана). Он антисимметричен при перемене индексов и , также антисимметричен при перемене и и симметричен, если пара меняется с . R (тензор Риччи) - симметричен.
Вариация функционала F, описываемого соотношением (6.4.8), по отношению к g приводит к следующему соотношению:
2
F
g
=-
1
^2
(-gR)
g
=-
1
^2
– g
R
–
1
2
g
R
,
(6.5.2)
где gDet g. Последняя величина в соотношении (6.5.2) есть тензор энергии-импульса нашей теории (см. соотношение (6.2.2)) и удовлетворяет следующему соотношению
g
T
,
=-
[,]
T
(или
T
,
=-
T
),
(6.5.3)
если сделана замена T как мы требовали это сделать. Отсюда следует, что полные уравнения гравитационного поля, правильные во всех порядках, являются следующими:
– g
R
–
1
2
g