Фейнмановские лекции по гравитации

Рис. 5.2.

Если временные масштабы в различных частях пространства не являются теми же самыми, то линии постоянной фазы в таких диаграммах являются кривыми и соответствующие классические траектории - кривые, соответствующие ускоренному движению по направлению к области с меньшим масштабом, как показано на рис. 5.2. Так как звёзды производят такое уменьшение характерного времени для фазы, они должны вызывать ускорения. В квантовой механике плоско-параллельные решения существуют, когда поверхности постоянной фазы параллельны; если этого нет, то волновые пакеты будут стремиться следовать градиенту фазы. Теперь, если удалённая ”туманность” определяет в основном этот масштаб и если нет ближайших звёзд, масштаб h/mc^2 будет почти равным в двух ближайших точках 1 и 2, потому что 1 и 2 находятся практически на одинаковом расстоянии от всех ”туманностей”. Следовательно, естественная частота (разделение линий постоянной фазы) в точках 1 и 2 была бы практически равной. Таким образом, если частица первоначально имела бы равную фазу в точках 1 и 2, это всегда было бы так, и это состояние оставалось бы в покое, не ускорялось бы (более точно, длинный волновой пакет оставался бы в покое). Неравные начальные фазы дают наклонные линии, постоянная наклона по времени связана с постоянной скоростью. Отсутствие ускорения есть следствие наличия естественной временной шкалы, которая одинакова во всех точках в области пространства. Это постоянство понятно, если ”туманности” определяют естественную шкалу для области пространства очень малой по сравнению с размерами распределения влияющих ”галактик” (размерами вселенной), никаких вариаций в масштабе не могло бы ожидаться.

Имеются некоторые числовые совпадения, которые мы можем упомянуть здесь для того, чтобы навести на мысль о том, как ”естественные” масштабы длины могут быть в некотором смысле извлечены из космологии. Такое совпадение не содержит в себе ”теорию”, как таковую, оно просто используется для того, чтобы проиллюстрировать связь, которая могла бы быть в конце концов предсказана подробной теорией. Мы предполагаем, что в некоторой системе временных единиц, которые ”естественны” для вселенной, соответствующий инвариант (элемент длины) для частицы, находящейся в покое, есть

(ds)^2

=

g

(dt)^2

.

(5.4.1)

Координатная временная единица t должна быть (R/c), где R - радиус вселенной. Мы предполагаем, что атомные единицы определяются ds, мы серьёзно берём в качестве абсолютного размера g, тогда одна единица ds является фундаментальной длиной. Какова фундаментальная длина? Все масштабы длины пропорциональны, но мы попробуем использовать комптоновскую длину волны h/Mc. Тогда s от 1 означает одну осцилляцию волновой функции протона, a t от 1 - масштаб, равный размеру Вселенной.

Предположим затем, что вклад в величину g, обусловленный каждым протоном, есть просто 1/r (r есть в координатных единицах радиус вселенной). Тогда удалённые ”туманности”, которые имеют N протонов и которые удалены на характерное расстояние R=1, дают вклад в величину g порядка N. В окрестности звезды на расстоянии r, содержащей n протонов, элемент дуги имеет следующий квадрат:

(ds)^2

=

N

+

n

r

(dt)^2

.

(5.4.2)

Совпадение состоит в том, что если T - возраст вселенной, то он численно связан со временем протона (h/M_pc^2)TN. Вместе с другим совпадением, о котором уже было упомянуто, что 2M_вселG/R1, когда мы вновь переходим к произвольной системе единиц, такой как сантиметры и секунды, получаем

(ds)^2

=

N

+

2mG

r

(cdt)^2

,

(5.4.3)

где m - масса звезды, грубо говоря m=nM_p. За исключением катастрофического появления знака (+) вместо знака (-), этот результат идентичен ”правильному” выражению для длины дуги. Мы преуспели в получении правильных размеров путём жонглирования космологическими числами.

Вероятно, в таком совпадении нет какого-либо глубокого значения. Одно положение, которое неверно, состоит в том, что мы предположили вклад (1/r) от каждой протонной массы, но зависимость (1/r) есть правильное выражение для поправок к полной энергии, обусловленной влиянием близких частиц, и это выражение, возможно, неверно для частиц в удалённых галактиках. Другая серьёзная трудность состоит в том, что мы не пытались учесть эффекты, связанные с другими членами тензора h например h Однако такое жонглирование служит тому, чтобы показать, как теории гравитации неизбежно приводят к рассмотрению вовлечённых в теорию времени и инерции; мы получаем представление о том, как взаимодействие, выраженное через число удалённых частиц, может привести к наблюдаемой инерции такого объекта, как протон. Во всяком случае, делается намёк на то, что абсолютная величина тензора h взята серьёзно; эта величина может иметь смысл. Плоское пространство может быть h=-h=-h=-h=, где - имеющее глубокий смысл число, которое не берётся просто равным 1.

5.5. Собственная энергия гравитационного поля

Вернёмся к менее спекулятивной и более точной материи. При развитии и проведении модификаций нашей полевой теории мы пренебрегали тем, чтобы проверить, является ли наша теория внутренне непротиворечивой. Мы написали полный лагранжиан, имеющий полевой член, член, описывающий материю, и член, характеризующий взаимодействие. Мы получили полевое уравнение, используя условие, что дивергенция тензора энергии-импульса должна быть равна нулю. Такая процедура очевидно некорректна, так как мы написали тензор давления, который не включал в себя энергию самого гравитационного поля. Таким образом, наша нынешняя теория не выдерживает критики с точки зрения физики, так как энергия вещества не сохраняется.

Мы попробуем исправить этот теоретический недостаток путём поиска нового тензора, который складывается со старым тензором T. который мог бы разрешить эту проблему, так что

(

T

+

^,

)

_,

=

0,

(5.5.1)

и в то же самое время полная энергия поля правильно учтена. Как мы найдём этот член? Мы могли бы попытаться построить правильный полный тензор, используя формулу Вентцеля и полный лагранжиан. Результат даёт несимметричный тензор, если мы проведём его симметризацию, проведём также вычисления, то оказывается, что выражение для прецессии перигелия Меркурия получается неверным. Это другой пример эмпирического определения физических теорий: теории, не возникающие из некоторого рода вариационного принципа, такого как принцип минимального действия, могут в конечном счёте приводить к волнениям и противоречиям.

Сделаем попытку другого рода согласно общей линии нашего построения, заключающегося в испытаниях различных теорий в последовательном порядке увеличения сложности. Физически мы знаем, что мы пытаемся описать нелинейный эффект: гравитационное поле образовано энергией, энергия этого поля есть источник других полей. Здесь мы можем приступить к получению важного результата. Конечно возможно, что такая нелинейность может приниматься в расчёт для малого остаточного отличия в прецессии перигелия Меркурия. Мы будем требовать, чтобы полевые уравнения получались из вариации некоторого действия, и будем задавать себе вопрос о том, какого вида член должен быть добавлен к лагранжиану для того, чтобы получить член, похожий на член чтобы придти к уравнению движения

h

^,

_,

–

2

h

^,

=-

(

T

^,

+

^,

),

(5.5.2)

и такого, что соотношение (5.5.1) оказывается выполненным? Как может выглядеть выражение , если оно представляет вид гравитационной энергии? Несомненно, что, по крайней мере, частично эта величина пропорциональна квадратам полевых сил; это есть произведение двух градиентов потенциалов. Возможно, поэтому, есть сумма членов, похожих на h_,h_, + т.д., каждый из которых с двумя компонентами h и двумя производными.

Мы будем требовать, чтобы наши уравнения были выводимы из вариационного принципа такого, как наименьшее действие. Когда мы вариируем эти произведения, мы уменьшаем число компонент h, так что для лагранжиана, который используется для вычисления вариации действия, требуется связывающий член третьего порядка по h, который будем называть F^3; мы будем пытаться сделать преобразования так, что вариация F^3 приводит к члену

F^3

h

=