Фейнмановские лекции по гравитации

g

(x)

^o

T

_,

(x)

=-

[,]

^o

T

(x)

.

(6.1.9)

Это точное уравнение, которому должен удовлетворять тензор ^oT. В настоящем время мы используем его только в первом порядке малости по h. Мы можем разделить тензор g на два слагаемых +2h и получить уравнение,¹ которое говорит нам, что дивергенция ^oT_, начинается с линейного члена по константе связи :

^o

T

^,

=-

[,]

^o

T

–

2

h

^o

T

_,

,

(6.1.10)

¹ При переводе мы не меняли не очень удачные обозначения Фейнмана, когда обозначает одновременно как индекс, так и множитель, т.е. две совершенно различные величины. (Прим. перев.)

так как знак ”скобка” включает в себя производные, которые делают нулевой порядок тензора g не играющим никакой роли.

Когда мы сравниваем это соотношение с требованием, что новый тензор ^newTⁿT должен иметь нулевую дивергенцию,

ⁿ

T

_,

=

^o

T

_,

+

_,

,

(6.1.11)

и если мы предполагаем, что само выражение для – билинейно по полям, мы видим, что дивергенция _, должна иметь следующее выражение:

_,

=

[,]

^o

T

+

O(^2)

… .

(6.1.12)

Знание дивергенции не определяет для нас . У нас есть дополнительное требование, используя которое мы надеемся вывести из вариации F^3 по отношению к h, согласно соотношению (6.1.2). Если мы возьмём F^3 как сумму по всем возможным независимым произведениям, включающим в себя всевозможные трилинейные произведения полевых компонент и два независимых индекса, по которым берутся производные, то эти два требования определяют величину F^3 однозначно. Мы не будем проводить здесь определение 18 констант, но отметим, что это результат больших и трудоёмких алгебраических вычислений

F^3

=-

h

h

h

_,

+

h

h

h

_,

^,

–

–

2h

h

h

^,

+

2

h

h

_,

h

_,

+

+

1

2

h

h

+

1

4

h

h

h

_,

.

(6.1.13)

Теперь для нас оказывается возможным, используя метод малых возмущений, вычислить все эффекты, которые рассматривались ранее. Для случая движения планет включение выражения для F^3 в интеграл от лагранжиана приводит к следующим выражениям и , которые должны быть использованы для вычислений орбит:

=

+

1

2

^2

…

=

–

3

8

^2

…

=-

2MG/r

.

(6.1.14)

Эти поправки приводят к полному согласию нашей теории с наблюдениями по прецессии перигелия Меркурия, так что последнее оставшееся расхождение между теорией и наблюдениями исчезает.

6.2. Формулировка теории, справедливой во всех порядках

Мы достаточно преуспели в нашей задаче, которую мы поставили перед собой в самом начале, построить полевую теорию гравитации по аналогии с другими хорошо известными полевыми теориями, которые бы адекватно описывали все известные характеристики феномена гравитации. Таким образом, наша воображаемая венерианская точка зрения оказалась плодотворной. Имеются некоторые слабые места в нашей теории; мы могли бы представить себе, что самые трудолюбивые венерианские теоретики могли бы не удовлетвориться теорией, в которой оставлены неопределёнными эффекты третьего порядка малости, и некоторые из них могли бы продолжить исследование функций F и F и т.д., которые должны быть добавлены к интегралу от лагранжиана для того, чтобы сделать теорию согласованной в более высоких порядках. Этот подход есть невероятно сложная процедура вычисления ненаблюдаемых поправок, и мы не будем соревноваться с нашими воображаемыми венерианами в этом отношении.

В физических теориях подчас возникает такая ситуация, что хотя поправки более высокого порядка в полном разложении удручающе скучно вычислять, возможно построить теорию, в которой суммируются все поправки более высокого порядка, для того, чтобы получить ответ, который является достижимым. Таким образом, представим себе честолюбивого и самоуверенного венерианина, который решил сделать попытку вывести полное разложение для функции F=F^2+F^3+F+F+… Мы будем искать функционал F описывающий действие, которое должно быть провариировано, по следующим эмпирическим причинам: по-видимому, не существует достаточно удовлетворительной теории, которая не является выводимой с использованием вариационного принципа, первый этап применения которого заключается в выписывании функционала, связанного с лагранжианом или гамильтонианом (обе формулировки являются эквивалентными) .

В настоящее время нет определённости относительно того, отражают ли неуспехи нелагранжевых теорий некоторую фундаментальную истину о природе. Возможно, что фундаментальная истина может быть в том, что физические процессы происходят согласно принципу минимальной фазы и что действия в классической физике или квантовой физике есть выражения для этой фазы, которые верны в некотором приближении. Амбициозная попытка облечь гравитацию в нелагранжеву формулировку была сделана Бирхгоффом [Birk 43]. Он сохранил линейные уравнения для полей, но изменил уравнения движения для частиц. Полученная в результате классическая теория была совершенно удовлетворительна, но она не позволяла непротиворечивого квантования. Было показано, что волновое движение волновых пакетов не следует постулированным классическим уравнениям, но следует уравнениям Эйнштейна! Кажется вероятным, что эта попытка квантования открыла некоторую скрытую несогласованность в этих полевых уравнениях.

Следовательно, мы будем искать полный функционал F,

F

=

F^2

+

F^3

+

F

+

… ,

(6.2.1)

который определяется из требования того, что результирующее уравнение есть уравнение движения

F

h

=

T

,

(6.2.2)

которое автоматически имеет следствием условие на дивергенцию T (6.1.9). Функционал F должен, следовательно, удовлетворять следующему дифференциальному функциональному уравнению:

g

F

h

,

+

[,]

F

h

=

0,

(6.2.3)

которое мы должны решить. Это в общем случае представляет чрезвычайно трудную задачу, и нет процедуры для получения решений таких уравнений. Мы должны будем положиться на нашу изобретательность в придумывании функционалов, которые есть решения в том смысле, что они удовлетворяют уравнению (6.2.2) при подстановке в него. Нет единственного общего решения этого уравнения, даже если мы добавим, что для малого значения h мы будем выбирать такое решение, главные члены которого F^2 и F^3 выводятся нами другими методами. Тем не менее, имеется очевидное ”наипростейшее” решение (включающее наименьшее число производных метрического тензора g– только две производных). Мы выбираем это решение. Когда этот выбор сделан, мы придём к теории, которая идентична эйнштейновской. С этого места мы откажемся от венерианской точки зрения и приступим к изучению теории гравитации с земной точки зрения, которая была изложена Эйнштейном.