Фейнмановские лекции по гравитации

.

(8.1.6)

Нетрудно показать, что эта обратная матрица на самом деле составляет контравариантный тензор, так что и надлежит записывать его с двумя индексами, как мы и предчувствовали.

Аналогично предыдущему, нетрудно показать, что суммы

g

dx

dx

=

(ds)^2

(8.1.7)

и gAA являются скалярными инвариантами; это происходит потому, что производные появляются в правильном порядке в одном случае и в ”перевёрнутом виде” в другом случае, так что после суммирования получаются -символы Кронекера.

Это наводит на мысль, что мы можем использовать метрический тензор g Для того, чтобы определить векторные компоненты иного рода, имеющие другой закон преобразования

(а)

A

=

g

A

,

(б)

A

(x')

=

x

x'

A

(x)

,

(8.1.8)

которые мы будем называть ковариантными компонентами вектора. Скалярные инварианты, которые могут быть порождены суммированием, есть

A

B

.

(8.1.9)

При преобразованиях с индексами, которые мы проводим, будет важно следить за верхними и нижними индексами; в общем случае, будут допустимы суммирования только по одному нижнему и одному верхнему индексу. Например, в специальном случае ортогональных координат специальной теории относительности собственное время может быть теперь записано, как

(ds)^2

=

dx

dx

.

(8.1.10)

Тензор – диагональный и имеет компоненты (1,-1,-1,-1).

Всякий раз, когда векторная величина появляется в физической задаче, например векторный потенциал в электродинамике, эта величина будет появляться в качестве или ковариантного, или контравариантного вектора. Но мы можем всегда построить один из другого, используя метрический тензор; мы можем всегда опустить или поднять индексы по своему желанию, умножая на величины g или на компоненты матрицы, обратной к этой матрице. Можно построить тензоры, которые были бы частично ковариантны, частично контравариантны; такие тензоры имеют несколько верхних индексов, несколько нижних, и важно записать эти индексы таким образом, чтобы не было вопроса относительно их порядка

g

T

=

T

(8.1.11)

Для специального типа симметрических тензоров g или g мы можем ослабить это правило, так как поднятие или опускание индекса производит просто -символ Кронекера

g

g

=

=

.

(8.1.12)

Мы не будем утомлять себя тем, чтобы вновь рассматривать доказательства этих соотношений, поскольку они получены много лет тому назад и могут быть найдены во множестве книг. Все они использовались Эйнштейном, который придумал эти обозначения, что упростило работу с ними, и он является ”надёжным малым” (”reliable guy”), когда придумывает подобные штуки. Перемещение индексов, поднятие их или опускание, есть нечто мнемонические, так как это соответствует перемещению индексов в производных, которые определяют эти преобразования, в соотношениях (8.1.3), (8.1.4), (8.1.5) и (8.1.8).

Нет фундаментального физического различия между ковариантными и контравариантными компонентами вектора; они имеют одинаковое физическое содержание и меняется только их представление. Для случая двух измерений мы можем легко показать графически, как представления векторов отличаются. Так как преобразования определяются как инфинитезимальные перемещения, нам нет нужды беспокоиться о кривизне пространства; всё, что здесь заключено, это наличие ортогональности или её отсутствие. Если оси координат не пересекаются под прямым углом, то имеется два способа проектирования физического смещения на оси: или перпендикулярно на ось, или параллельно другим осям, как показано на рис. 8.1. Мы видим, что тензорные компоненты описывают отсутствие ортогональности координат в заданной точке.

Рис. 8.1.

8.2. Уравнения, определяющие инварианты g

Теперь, когда у нас есть лучшее понимание роли метрического тензора, мы можем приступить к изучению того, какие величины могут быть построены из него, причём величины, остающиеся инвариантными при инфинитезимальных координатных преобразованиях.

То, что мы собираемся сделать сейчас, в точности совпадают с тем, что мы делали некоторое время назад при построении лагранжиана. Предположим, что мы делаем небольшое изменение в координатах

x

=

x'

+

(x')

,

(8.2.1)

где предполагаются, что достаточно малы, так что нам необходимо сохранять только члены первого порядка малости по . Тогда для производных справедливы следующие соотношения

x

x'

=

+

x'

.

(8.2.2)

Когда мы вычисляем новые компоненты g' мы получаем произведение двух таких производных

g'

(x')

=

g

(x'+)

+

x'

+

x'

.

(8.2.3)

Если мы оставляем только члены нулевого порядка и первого порядка малости по , то получаем

g'

(x')

=

g

(x')

+

g

x'

+

g

x'

+

g

x'

.

(8.2.4)

Новые компоненты g' равны старым компонентам g плюс некоторые члены порядка Когда теперь мы спрашиваем, какие функции g допускаются, если настаиваем, чтобы их форма осталась инвариантной, мы видим, что мы приходим к той же самой задаче, которую решили в лекции 6. Математическая задача является той же самой как и тогда, когда мы пытались найти лагранжиан, который приводил к сохраняющемуся тензору энергии-импульса.