Физика пространства - времени

0

d

=-

_выбр

M

M

dM

M

.

Интеграл справа равен натуральному логарифму, так что

=

_выбр

·ln

M

M

(релятивистская ракета),

(108)

Величина параметра

скорости, достигнутая

после сжигания

любой данной

массы горючего

=

Скорость

выброса

продуктов

сгорания

·ln

Начальная

масса покоя

ракеты

Конечная

масса покоя

ракеты

Это и есть уравнение движения релятивистской ракеты.

б) Нерелятивистской называется такая ракета, которая движется со скоростью, много меньшей скорости света. Покажите, что приведённое выше уравнение движения релятивистской ракеты в нерелятивистском пределе принимает вид обычного уравнения движения нерелятивистской ракеты:

v

=

v

_выбр

·ln

M

M

(нерелятивистская ракета),

(109)

в) Покажите, исходя из основных законов сохранения, что масса покоя в случае релятивистской ракеты не сохраняется. Куда же она девается? Покажите, что масса покоя (приближённо) сохраняется в предельном случае нерелятивистской ракеты.

г) Покажите, что скорость релятивистской ракеты может приближаться сколь угодно близко к скорости света, но не превосходить её.

д) Рассмотрите частный случай, когда скорость выброса очень велика. Покажите, что при _выбр, стремящейся к скорости света (т.е. при очень больших _выбр), необходимая для достижения данного значения параметра скорости ракеты выбрасываемая масса покоя стремится к нулю. Из этого следует что использование света для создания тяги ракеты соответствует полному переводу массы покоя топлива в энергию излучения; уравнение движения тогда принимает вид

=

ln

M

M

для ракеты с

фотонными двигателями

(110)

е) Иногда высказывают следующее обобщающее заключение: «Наиболее экономична ракета с фотонной тягой». Покажите, что это утверждение и верно, и ошибочно одновременно. Обсуждение. Найдите «коэффициент полезного действия» для двигателей, тягу которых создают световые вспышки. Насколько экономично продолжать ускорять «шлак» (использованные элементы) вместе с полезным грузом? Существует ли хоть один тип взаимодействия элементарных частиц, при котором вообще не остаётся «шлака» и образуется лишь свет (т.е. гамма-лучи)? См. стр. 162 и упражнение 97.

ж) Чему равно наименьшее отношение масс (отношение начальной массы к конечной, когда горючее исчерпано) для идеальной ракеты, в которой масса полностью превращается в свет, при котором ракета ускоряется из состояния покоя до такой скорости, при которой течение времени замедляется в десять раз? Чему равно это отношение масс в случае наибольшей скорости выброса, достижимой в ракетах с химическими двигателями (около 4000 м/сек)? Замечание. В технической литературе часто говорится об «удельном импульсе» (обозначаемом через I) ракетного горючего; например, I=260 сек для керосина с жидким кислородом и 350 сек для жидкого водорода с жидким кислородом. Умножьте эти величины на 9,8 м/сек^2, чтобы перейти к физическим единицам (скорости выброса в м/сек или к импульсу в кг·м/сек, сообщаемому ракете каждым килограммом отработавшего топлива). Последний способ выражения через импульс в противоположность использованию единиц времени применим и на Луне, где g(1/6)*9,8 м/сек^2, и на Земле, где g=9,8 м/сек^2.

59*. Парадокс центра масс

Пусть в системе отсчёта ракеты вдоль оси x в состоянии покоя закреплена длинная труба. С двух противоположных концов в неё одновременно и с одинаковой скоростью (с точки зрения системы отсчёта ракеты) выстреливаются два одинаковых пушечных ядра. Эти ядра упруго сталкиваются в середине трубы и разлетаются вновь к её концам. До того как ядра достигают этих концов, их наглухо закрывают, и в дальнейшем ядра всё время движутся взад и вперёд в трубе без трения.

Рис. 99. Пушечные ядра, летящие навстречу друг другу.

а) Опишите движение центра масс этих двух ядер в системе отсчёта ракеты.

б) Одновременно ли производятся в лабораторной системе отсчёта выстрелы, посредством которых ядра вводятся в трубу? Опишите движение центра масс ядер в лабораторной системе отсчёта. При этом удобно воспользоваться диаграммой пространства-времени. Инвариантно ли положение центра масс в теории относительности?

в) Предположим теперь, что в системе отсчёта ракеты труба не закреплена, а лежит на абсолютно гладкой поверхности. Рассмотрите движение центра масс трубы в обеих системах отсчёта. Как движется в каждой из систем отсчёта центр масс системы, включающей трубу плюс оба пушечных ядра?

60*. Второй вывод релятивистского выражения для импульса

а) На рис. 85 в системе отсчёта ракеты между моментами столкновения двух шаров и попадания шара A в верхнюю стенку проходит интервал времени t'. В лабораторной системе отсчёта этот промежуток времени равен t. Пользуясь формулами преобразования Лоренца, найдите связь между этими двумя промежутками времени, t' и t. Найдите связь между значениями y-компоненты скорости шара A в обеих системах (см. упражнение 20). Приняв за скорость шара A в системе отсчёта ракеты, покажите, что y-компонента скорости шара A в лабораторной системе отсчёта _A^y,_лаб определяется выражением

_A

^y

,

_лаб

=

ch _r

.

Рис. 100. Компоненты скорости шаров A и B в лабораторной системе отсчёта до столкновения.

б) Проанализируйте теперь это столкновение в лабораторной системе отсчёта. На основании его симметрии в лабораторной системе и в системе отсчёта ракеты проверьте правильность данных о компонентах скоростей, приведённых на рис. 100. Вспомните, что импульс частицы должен быть направлен вдоль её движения (разд. 11). Поэтому треугольник векторов скорости шара A до и после столкновения подобен треугольнику векторов импульса шара A до и после столкновения (рис. 101). Предположим, что шар B в лабораторной системе отсчёта движется настолько медленно, что его импульс можно определять по ньютоновской формуле m. Потребуем теперь, чтобы изменение импульса шара A в процессе столкновения было равно по величине и противоположно по направлению изменению импульса шара B. Пропорциональность соответственных сторон подобных треугольников даёт равенство:

Горизонтальный

пунктирный отрезок

на диаграмме импульса

Вертикальный

пунктирный отрезок

на диаграмме импульса

=

Горизонтальный

пунктирный отрезок

на диаграмме скорости

Вертикальный

пунктирный отрезок

на диаграмме скорости

.

Рис. 101. Диаграммы скорости и импульса шара A в лабораторной системе отсчёта.

Покажите, что отсюда следует выражение