Физика пространства - времени

g*

=

Gm_З

c^2

·

1

r_З^2

=

m_З*

r_З^2

есть ускорение силы тяжести на поверхности Земли (радиус r_З), выраженное в м/м^2.

б) Какая часть вашей энергии покоя перейдёт в потенциальную энергию, когда вы подниметесь за пределы действия гравитационного поля Земли? Допустим, что, кроме Земли, во Вселенной ничего нет. Зависит ли доля энергии, теряемой в пункте (а) или (б), от вашей первоначальной массы?

в) Используйте результат, полученный в пункте (а), для нахождения относительного изменения энергии фотона, поднимающегося вертикально на высоту z в однородном гравитационном поле g*. Масса покоя фотона равна нулю, и формально можно сказать, что фотон обладает кинетической энергией E=T. Поэтому фотон располагает лишь одним источником, а именно своей кинетической энергией, за счёт которого он может компенсировать возрастание потенциальной энергии при подъёме в гравитационном поле. Световая волна с частотой состоит из фотонов энергии E=h/c^2 (см. упражнение 72). Требуется показать, что относительная потеря энергии фотонами, поднимающимися в гравитационном поле, соответствует следующему относительному изменению их частоты:

=-

g*z

(однородное гравитационное поле).

г) Вывод, полученный в пункте (б), используйте для нахождения величины относительной потери энергии фотоном при его удалении на бесконечность. (Применение этого вывода является хорошим приближением с точностью до 1%, если сама величина относительной потери энергии не превышает 2%). Пусть, например, фотон испускается из какой-то точки на поверхности астрономического объекта массы M (кг) или M* (м) и радиуса r. Исходя из величины относительной потери энергии, покажите, что относительное изменение частоты определяется формулой

=-

M*

r

.

(119)

Такое уменьшение частоты называется гравитационным красным смещением, потому что в видимом свете смещение состоит в сдвиге линий к низкочастотному (красному) концу спектра. Найдите величину относительного гравитационного красного смещения для света, испускаемого с поверхности Земли, и для света, испускаемого с поверхности Солнца.

74*. Плотность спутника Сириуса

Сириус (Альфа созвездия Большого Пса) — самая яркая звезда неба. Сириус и его маленький спутник обращаются один вокруг другого. Анализируя это обращение с помощью ньютоновской механики, астрономы смогли определить, что масса спутника Сириуса приблизительно равна массе нашего Солнца (m2·10^3 кг, m*1,5·10^3 м).

Излучение спутника Сириуса было исследовано спектроскопически. Отождествлённые по своему взаимному расположению спектральные линии некоторого химического элемента оказались сдвинутыми по своей частоте на 7·10 от величины частоты тех же спектральных линий того же элемента в лаборатории. (Эти опытные данные верны с точностью до первой значащей цифры). Интерпретируя это красное смещение как гравитационное (см. формулу в конце упражнения 73), найдите среднюю плотность спутника Сириуса в граммах на кубический сантиметр. Этот тип звёзд носит название белых карликов.

Г. ДОППЛЕРОВСКОЕ СМЕЩЕНИЕ

75. Формулы Допплера

Пусть фотон движется в лабораторной системе отсчёта в плоскости xy в направлении, образующем угол с осью x, так что он обладает компонентами импульса p ^x=p cos , p ^y=p sin и p ^z=0.

а) Используйте формулы преобразования Лоренца для 4-вектора энергии-импульса и соотношение E^2-p^2=0, справедливое для фотона, чтобы показать, что в системе отсчёта ракеты фотон обладает энергией E',

E'

=

E ch

_r

·

(1-

_r

cos )

,

(120)

и движется в направлении, образующем с осью x' угол ', причём

cos '

=

cos -_r

1-_r cos

.

(121)

б) Найдите обратные уравнения, выражающие E и cos через E', cos ' и _r. Сравните эти обратные уравнения с полученными в упражнении 22 («эффект прожектора»).

в) Если частота света в лабораторной системе отсчёта равна , то чему равна частота этого света ' в системе отсчёта ракеты? Такое различие частот, обусловленное относительным движением, носит название релятивистского эффекта Допплера (упражнение 6). Позволяют ли полученные уравнения определить, в какой системе отсчёта покоится источник фотонов?

76. Распад -мезона; подробный пример

Нейтральный пи-мезон (-мезон), движущийся в лабораторной системе отсчёта в направлении оси x и обладающий кинетической энергией, равной его энергии покоя, распадается на два фотона. В системе отсчёта ракеты, где мезон покоится, эти фотоны разлетаются в положительном и отрицательном направлениях оси y'. Определите энергии фотонов в системе отсчёта ракеты (в единицах энергии покоя мезона) и энергии и направления вылета фотонов в лабораторной системе отсчёта.

Решение. В системе отсчёта ракеты -мезон до своего распада покоился (импульс равен нулю). Он никак не мог распасться на один фотон, не нарушив сохранения импульса. При распаде на два фотона импульс сохранится, если: а) фотоны разлетаются в противоположных направлениях в той системе отсчёта, где мезон до своего распада покоился, и б) импульсы этих фотонов в такой системе равны по абсолютной величине, так что фотоны обладают одинаковыми энергиями (для фотонов E'=p'). Таким образом, в системе отсчёта ракеты задача имеет следующее решение: каждый фотон уносит половину энергии покоя мезона, E'=m/2. Кроме того, эти фотоны по условию должны разлетаться в положительном и отрицательном направлениях оси y' (=±90°, так что cos '=0).

Энергия и направление вылета каждого из фотонов в лабораторной системе отсчёта могут быть найдены по формулам, полученным в упражнении 75:

E

=

E' ch

_r

·

(1+

_r

cos ')

,

cos

=

cos '+_r

1+_r cos '

.

Прежде всего необходимо найти величины _r, и _r. Согласно условию задачи, кинетическая энергия мезона в лабораторной системе отсчёта до его распада была равна массе покоя; тогда

E

m ch

_r

T

+

m

=

2m

,

откуда

ch

_r

=

1

1-_r^2

=

2

,

так что

_r

=

3

2

.

Подставьте теперь эти данные и величину E'=m/2 в уравнения преобразования, и вы получите

E