Физика пространства - времени

Рис. 129. Частный случай изменения ориентации оси вращения электрона при изменении направления его движения.

а) На рис. 129 электрон изображён до (A) и после (B) того, как он изменил направление своего движения на угол . Жирная черта, пересекающая в каждом случае электрон,— проекция направления спина на плоскость орбиты (плоскость xy). На рисунке представлен тот частный случай, когда эта проекция была направлена вдоль оси x до изменения электроном его направления движения. Когда же произошло это изменение направления движения электрона как целого, ориентация спина должна была также измениться на некоторый малый угол d, и это изменение нельзя понять в рамках механики Ньютона! Чем оно вызвано? Его причиной является относительность одновременности.

Рис. 130. Заменим одиночный электрон, огибающий угол, двумя электронами, A и B, движущимися по пересекающим прямым путям. Потребуем, чтобы ориентация спина у A и у B была одинаковой в системе отсчёта, где A покоится.

Огибая угол, электрон испытывает сильное и резкое ускорение. К счастью, мы можем анализировать по отдельности шарики A и B, движущиеся с одинаковыми по модулю скоростями в направлениях, образующих в лабораторной системе отсчёта угол , как это изображено на рис. 130. Ни один из этих шариков пусть не ускоряется, но в момент их встречи наблюдатели, движущиеся вместе с ними, могут зарегистрировать одинаковое направление осей вращения шариков A и B. Рисунок в системе отсчёта ракеты изображает относительную ориентацию спинов в той системе отсчёта, где шарик A покоится. Именно в этой системе отсчёта ракеты наблюдатель на A производит сравнение ориентаций векторов спина. (Вопрос: какой наблюдатель проводит сравнение — A или B? В том случае, когда угол весьма мал, наблюдатель A и наблюдатель B будут почти покоиться друг относительно друга, так что в пределе всё равно, кто из них производит сравнение!) Так как мы заменяем одиночный шарик, огибающий угол, двумя шариками A и B, мы требуем, чтобы в системе отсчёта ракеты проекции спина для A и для B были взаимно параллельны. Главное здесь в том, что хотя эти проекции и параллельны в системе отсчёта ракеты, они не параллельны в лабораторной системе отсчёта. В результате направление вектора спина электрона изменяется, когда электрон огибает угол, при наблюдении в лабораторной системе отсчёта.

Рис. 131. Исследование ориентации оси вращения шарика B в лабораторной системе отсчёта и в системе отсчёта ракеты; схема начерчена для того, чтобы получить ответы на вопросы: где и когда точка Q пересекает ось x? Где вследствие этого расположена точка Q в момент времени t=0 в лабораторной системе отсчёта?

На рис. 131 в крупном масштабе изображён шарик B. Обозначим, согласно этой схеме, концы проекции спиновой оси через P и Q. Выберем начала координат в лабораторной системе отсчёта и в системе отсчёта ракеты так, чтобы в момент t=t'=0 эти начала совпадали с точкой P. Тогда в системе отсчёта ракеты точка Q пересечёт ось x в этот же момент t'=t_Q'=0. Но в лабораторной системе отсчёта это будет не так! На рис. 131 показан электрон B в момент времени t=0 в лабораторной системе отсчёта. Пусть x_Q и t_Q будут соответственно другой точкой и более поздним моментом времени в лабораторной системе отсчёта, при которых точка Q пересекает ось x. Пользуясь формулами преобразования Лоренца и полагая t_Q=0, покажите, что

x

_Q

=

x

_Q

'

ch

_r

,

t

_Q

=

t

_Q

'

sh

_r

.

(128)

Вопрос: где находилась точка Q в момент времени t=0 в лабораторной системе отсчёта? К моменту t_Q точка Q прошла расстояние _r t_Q, как это показано на рисунке. Покажите, исходя из него, что за это время координаты x и y точки Q изменились на величины

x

=

_r

t

_Q

cos

=

_r

x

_Q

'

sh

_r

cos

,

y

=

_r

t

_Q

sin

=

_r

x

_Q

'

sh

_r

sin

,

(129)

где на последнем этапе были использованы соотношения (128). Это значит, что в момент t=0 лабораторной системы отсчёта точка P была (по определению) в начале координат, а точка Q имела координаты x_Q– x и -y. Поэтому угол наклона d отрезка PQ к горизонтали, найденный в лабораторной системе отсчёта в момент t=0, т.е. изменение ориентации вектора спина после того, как электрон обогнул угол, даётся выражением

tg d

=

– y

x_Q– x

.

(130)

Подставляя сюда x_Q, x и y из соотношений (128) и (129) и производя упрощения, найдём

tg d

=

– _r^2sin

1-_r^2cos

.

В атоме _r<=Z/137 (см. упражнение 101), так что при малых Z _r<<1. Поэтому

tg d

d

–

_r

^2sin

.

Это и есть тот угол, на который спиновая ось электрона поворачивается при огибании электроном угла в том частном случае, когда проекция этой оси на плоскость орбиты электрона направлена первоначально вдоль его движения.

Рис. 132. Частный случай, когда электрон не изменяет ориентации своей оси при изменении направления движения.

б) Возьмём другой частный случай, на этот раз когда проекция оси вращения параллельна оси x (xy — плоскость орбиты). Покажите, что теперь наблюдатели в лабораторной системе отсчёта и в системе отсчёта ракеты будут согласны между собой в том, что точки P и Q пересекают ось y одновременно. Поэтому в данном случае при огибании электроном угла в лабораторной системе отсчёта будет отсутствовать поворот оси вращения электрона.

Рис. 133. Общий случай изменения ориентации оси вращения электрона, когда последний меняет направление своего движения.

в) В процессе движения электрона по орбите проекция его оси вращения на плоскость xy (рис. 127) будет иногда параллельна направлению его движения (случай (а)), а иногда — перпендикулярна этому направлению (случай (б)). В общем случае она будет составлять некоторый угол с направлением движения электрона, меняющийся на d, когда электрон огибает угол. Чему может быть равна величина этого изменения, d? При =0 [случай (а)] d=-_r^2sin ; при =90° [случай (б)] d=0. В общем случае изменение должно лежать между нулём и -_r^2sin . Исходя из рис. 133, проведём следующие рассуждения, чтобы показать, что при малых и _r^2 искомое изменение равно -_r^2sin cos^2. Дополним первоначальную линию PQ её горизонтальной и вертикальной составляющими PR и QR. Из пунктов (а) и (б) мы знаем, что вертикальный отрезок QR не подвергнется повороту, когда электрон обогнёт угол, тогда как горизонтальный отрезок PR повернётся по часовой стрелке на угол _r^2sin . Покажите, что при малых углах это приводит к неизменности x-компоненты PQ и уменьшению y-компоненты на величину (L cos )·(_r^2sin ). Поэтому тангенс нового угла +d равен

tg(+d)

L sin -(L cos )(_r^2sin )

L cos

=

=

tg

–

_r

^2sin

.

(131)

Требуется найти tg dd; согласно табл. 8,

tg d

=

tg[(+d)-]

=

tg(+d)-tg

1+tg(+d)·tg

.

Используя равенство (131), получим

tg d

=

tg -_r^2sin -tg

1+(tg -_r^2sin ) tg

=

=

– _r^2sin

1+tg^2-_r^2sin tg

.

При очень малых можно пренебречь последним слагаемым в знаменателе, где останется тогда сумма

1+tg^2

=

1+

sin^2

cos^2

=

cos^2+sin^2

cos^2

=

1

cos^2

,

так что

tg d

d

=-

_r

^2sin

cos^2

.

(132)

Это и есть тот угол, на который поворачивается (прецессирует) ось вращения электрона, когда последний огибает угол, изменяя направление своего движения на , в общем случае ориентации проекции этой оси вращения на плоскость орбиты под углом к направлению движения электрона.

г) Из уравнения (132) видно, на какой угол d поворачивается вектор спина электрона, когда электрон изменяет направление своего движения на , один раз огибая угол. Чему будет тогда равен полный угол прецессии при обходе электроном всей замкнутой орбиты? (См. рис. 127 и 128). В замкнутой орбите содержится n поворотов, каждый из которых происходит на угол =2/n. При больших n (малых ) sin так что полный угол прецессии спина при одном обороте электрона вокруг ядра составляет