Физика пространства - времени

100*. Накопительные кольца и встречные пучки

Рис. 125. Пристонско-станфордский эксперимент по встречным электронным пучкам.

Электроны инжектировались в каждое кольцо примерно по 10 мин. Когда оба кольца были таким образом заполнены, линейный ускоритель был отключён, и в течение 30 мин снимались данные. Потери энергии электронами, излучавшими из-за ускоренного движения по круговым орбитам, компенсировались радиоволновым методом в резонаторах радиочастотной «подкачки».

Насколько «энергичнее» окажется столкновение, если два соударяющиеся электрона движутся навстречу друг другу, по сравнению со столкновением, когда один электрон налетает на другой электрон, который покоится? Обсуждение. Когда движущаяся частица налетает на покоящуюся, то энергия, которая может пойти на порождение новых частиц, на нагрев или на иные взаимодействия, меньше, чем начальная энергия (сумма энергий покоя и кинетических энергий обеих начальных частиц). См. по этому поводу упражнение 93. Причина состоит в том, что система частиц после реакции в целом сохраняет движение «вперёд» (закон сохранения импульса!), соответствующая которому кинетическая энергия не может пойти ни на придание этим частицам скорости относительно друг друга, ни на порождение новых частиц. Поэтому значительная часть энергии, сообщаемой частицам в ускорителях, не может быть использована для изучения взаимодействий и «выбрасывается» в форме кинетической энергии продуктов столкновения. Но в системе центра масс (определённой как система отсчёта, в которой полный импульс системы взаимодействующих частиц равен нулю) равенство полного импульса нулю имеет место как до, так и после столкновения. Поэтому в системе центра масс участвующая во взаимодействии энергия равна всей полной энергии первоначальных частиц. Можно ли как-то достигнуть того, чтобы лабораторная система отсчёта стала одновременно системой центра масс? Одним из способов является постройка двух ускорителей элементарных частиц, создающих два пучка частиц, направленных «в лоб» один другому. Если энергии и массы покоя частиц в обоих пучках одинаковы, то наша лабораторная система отсчёта будет и системой центра масс, и тогда при каждом столкновении вся энергия сможет быть реализована в столкновении для взаимодействия. Но проще и дешевле можно добиться того же результата, используя всего один ускоритель плюс накопительные кольца, в которых частицы сохраняются после того, как они достигнут своей максимальной энергии (рис. 125). Магнитное поле удерживает частицы (в данном случае — электроны) на круговых орбитах. Пучок частиц впрыскивается из ускорителя таким образом, чтобы в обоих кольцах направление циркуляции частиц было взаимно противоположным. Между частицами из двух пучков происходят столкновения в точке A, где пучки пересекаются (поэтому говорят о встречных пучках). Одним из преимуществ накопительных колец является сохранение в пучках тех электронов, которые не провзаимодействовали при одной встрече, но могут принять участие в столкновении при одной из последующих.

В каждом из колец «законсервированы» электроны с кинетической энергией 500 Мэв. Чему равна в лабораторной системе отсчёта полная величина энергии, которая может реализоваться во взаимодействии? Чему должна была бы быть равна кинетическая энергия электрона, налетающего на покоящийся электрон, из которой для взаимодействия можно было бы получить такую же энергию? (Когда пишутся эти строки, наибольшая энергия, которую может сообщить электрону одиночный ускоритель, равна 6 Бэв). Какой кинетической энергией должны обладать протоны, «консервируемые» в накопительных кольцах, чтобы они дали эквивалент полезной энергии протона 1000 Бэв, налетающего на покоящийся протон? (Когда пишутся эти строки, наибольшая энергия, которую может сообщить протону одиночный ускоритель, равна 35 Бэв). ¹)

¹) Новейший ускоритель протонов в Серпухове под Москвой даёт протоны с энергией 76 Бэв.- Прим. перев.

Е. АТОМНАЯ ФИЗИКА

101*. Де Бройль и Бор

Покажите, что результаты упражнения 72 приводят к соотношению p=h/c для импульса фотона, выраженного в единицах массы. Рассмотрите следующий интуитивный довод (основанный на удивительном выводе де Бройля ²), который был неполным, но исторически важным, так как привёл к весьма плодотворным исследованиям, а в конце концов — и к окончательному выводу и последующему развитию квантовой механики). Предположим, что длина волны =h/pc может ассоциироваться и с частицей ненулевой массы покоя, например с электроном. Пусть этот электрон движется по круговой орбите вокруг неподвижного ядра. Для того чтобы волна, описывающая электрон, была везде однозначной, необходимо потребовать равенства длины орбиты 2r некоторому целому числу n длин волн , умещающихся на протяжении этой орбиты. Покажите, что отсюда следует соотношение

²) Louis de Broglie, Comptes Rendus (Paris), 177, 507 (1923).

rp

_обычн

=

nh

2

=

mh

(

n=1, 2, 3,

)

,

(125)

где p_обычн — величина импульса электрона в обычных единицах. Какая величина момента импульса электрона, находящегося на такой орбите, следует из соотношения (125)? В пределе малых скоростей ньютоновская механика говорит, что радиус орбиты даётся соотношением

r

=

(4)n^2h^2

4^2Ze^2m

(126а)

(e в кулонах, 4=1,113·10^1 (кулон·сек)^2/кг·м^3; h, m и p в системе СИ — кг, м, сек), или

r

=

n^2h^2

Ze^2m

(126б)

(e в CGSE; h, m и r в системе CGS — г, см, сек), где Z — атомный номер ядра (число протонов в нем), m — масса и e — заряд электрона. Это формула радиуса орбит атома Бора. Покажите, что скорость электрона на орбите равна (в приближении малых скоростей)

=

Z

n

,

(127)

где

=

e^2

=

1

(4)

h

·

c

137

2

— безразмерная постоянная, называемая постоянной тонкой структуры. [Эта формула верна, когда e выражается в кулонах, 4=1,113·10^1 (кулон·сек)^2/кг·м^3, h и c — в кг, м, сек. Если её выразить в системе г, см, сек, причём e взять в единицах CGSE, то =e^2/hc=1/137). Полученное выражение для использовалось в упражнении 41.

102*. Ви'дение посредством электронов

Из общих принципов физической оптики следует невозможность получить изображение таких деталей объекта, которые меньше длины волны света, с помощью которого получают это изображение. Предположим, что это утверждение верно и в применении к волнам вещества, обсуждавшимся в предыдущем упражнении. Через какую разность потенциалов должны быть пропущены (ускорены) электроны, чтобы с их помощью было можно получить изображение бактерии (размером около 1 мк, т.е. 10 м) в электронном микроскопе? Какой энергией (в Мэв) должны обладать электроны, чтобы с их помощью можно было исследовать структуру протонов и нейтронов (диаметр которых равен около 1 ферми, т.е. 10^1 м)?

103**. Прецессия Томаса

Рис. 126. Ньютоновская механика утверждает, что при обороте электрона вокруг ядра ориентация его спина не изменится.

Представьте себе электрон как отрицательно заряженный шарик, вращающийся вокруг своей оси, подобно гироскопу. Эта грубая классическая модель не соответствует действительности, но приемлема для некоторых целей, например для следующей. Ньютоновская механика предсказывает, что электрон в атоме должен вращаться по некоторой орбите вокруг ядра и сохранять при этом неизменным направление оси своего вращения относительно инерциальных систем отсчёта точно так же, как это происходит с гироскопом, перемещаемым по окружности.

Рис. 127. Теория относительности предсказывает прецессию оси вращения электрона на угол, обозначенный здесь через , за один оборот вокруг ядра.

Однако, как открыл в 1927 г. Л. X. Томас ¹), теория относительности удивительным образом утверждает, что если электрон вращается вокруг ядра, вектор его спина направлен по-разному после каждого оборота. Такая прецессия, названная прецессией Томаса, приводит к наблюдаемому эффекту в спектральных линиях излучения некоторых атомов. Объяснение этой прецессии связано с эффектом наклонного метрового стержня (упражнение 52) и основывается на относительности одновременности. Проанализируйте эффект прецессии Томаса для электрона по следующей схеме (или другим способом).

¹) L. H. Thomas, Philosophical Magazine, (7) 3, 1 (1927).

Рис. 128. Правильный многоугольник как приближённое описание ньютоновской круговой орбиты электрона в атоме.

Что заставляет ось вращения электрона принимать новое направление после того, как электрон опишет полный круг? Двигаясь по окружности, электрон испытывает ускорение, направленное к её центру. Но, к сожалению, частная теория относительности неспособна описывать действие ускорения на ориентацию векторов. Поэтому мы поступим так, как это часто делается в физике: если данная проблема не поддаётся непосредственному решению, следует найти более простую, но аналогичную ей задачу, решить которую мы сумеем! В данном случае приближённо представим круговой путь классического электрона как правильный многоугольник с n сторонами. Для того чтобы совершить один полный оборот по орбите, электрон должен пройти теперь по ряду прямолинейных отрезков, испытав между ними n резких изменений направления движения, каждый раз на угол =2/n. План штурма задачи: исследовать, как изменится направление спина электрона при прохождении одного из таких углов [пункты от (а) до (в)]; затем устремить число сторон n к бесконечности так, чтобы угол , на который всякий раз меняется направление движения электрона, стремился к нулю, пока не получится в качестве предельного случая классическая круговая орбита [пункты от (г) до (д)].