Физика пространства - времени
Шрифт:
39. Пределы применимости преобразования Галилея
Найдём из табл. 8 приближённые выражения функций sh и ch с точностью до членов второго порядка:
sh
,
ch
1
+
2
(в первом случае поправка второго порядка просто равна нулю!). Вид формул (37) с точностью до членов второго порядка малости можно получить, имея в виду, что даже в этом приближении rr. Тогда в этом втором приближении будем иметь
x'
=
x
1
+
r^2
2
–
r
r
,
t'
=-
r
r
+
t
1
+
r^2
2
.
Коэффициенты,
r^2
2
<
10^2
или
r
^2
<
1
50
,
откуда приближённо получим
r
<
1
7
,
что и требовалось получить.
При старте с места гоночный автомобиль развивает ускорение a=v/t=4 м/сек^2. Если поддерживать такое ускорение постоянным, то скорости v=(1/7)·3·10 м/сек можно достигнуть за срок примерно в t=v/a=10 сек, т.е. около 4 месяцев. Даже с ускорением 7g70 м/сек^2 для достижения этой скорости потребовалось бы около недели!
40. Столкновения в теории Ньютона и в теории относительности
В системе отсчёта ракеты частицы после столкновения разлетаются вдоль оси y со скоростями ±r. В упражнении 20 было показано [формула (49)], что x- и y- компоненты скоростей этих частиц в лабораторной системе отсчёта будут равны
x
=
th
r
=
r
,
y
=
y'
ch r
=±
r
ch r
.
Тангенс угла a/2, образованного осью x и любым из этих двух векторов скорости в лабораторной системе отсчёта (см. рис. 53), даётся формулой
tg
2
=
y
x
=
1
ch r
=
1-
r
^2
.
Рис. 147.
Требуется найти величину малого угла /2 (рис. 147), который составляет разность между /4 радиан и /2, откуда получается сам угол как отклонение полного угла , образованного векторами скорости в лабораторной системе отсчёта, от прямого, т.е. от /2=90°. Из формулы 13 в табл. 8 найдём
tg
–
tg
tg
=
tg
–
=
4
2
.
2
4
2
1
+
tg
·
tg
4
2
Воспользовавшись
полученным выше выражением для tg /2 и приняв во внимание, что tg /4=1, а также что для малых справедливо приближённое равенство tg /2/2, мы придём к формуле2
=
1-1-r^2
1+1-r^2
1-(1-r^2/2)
1-(1-r^2/2)
=
r^2/2
2-r^2/2
r^2
4
;
=
r^2
2
,
где выражение 1-r^2 было подвергнуто разложению по правилу бинома Ньютона, в котором мы оставили лишь два первых слагаемых. От нас требовалось выяснить, при каких r угол не превышает 10^2 рад. Очевидно, это условие принимает вид
r
^2
<
1
50
или
r
<
1
7
.
Когда симметричные относительно друг друга скорости сталкивающихся и разлетающихся частиц в системе отсчёта ракеты будут меньше этой величины, угол между векторами скорости разлетающихся частиц в лабораторной системе будет отличаться от прямого менее чем на 10^2 рад. В лабораторной системе отсчёта, где одна из частиц первоначально покоилась, скорость налетающей частицы поэтому должна быть меньше, чем 2 r<2/7.
41. Примеры предельных переходов к механике Ньютона
Пример
движения
Корректно ли в этом примере
использование механики Ньютона
?
См. в тексте
(стр.
118
)
1/37200
Да, потому что
<1/7
10
Да
1/137
Да
79/137
Нет
4/30
Да, на пределе
10
^2
Да
42. Замедление времени для -мезона — подробный пример
Решение дано в тексте.
43. Замедление времени для -мезона
Если бы замедления времени не происходило, то из условий задачи следовало бы, что на расстоянии 5,4 м от мишени оставалась бы нераспавшейся половина мезонов. В упражнении 10 [см. формулу (44)] было выяснено, что множитель, характеризующий замедление времени, — это ch r. Следовательно, с точки зрения лабораторной системы отсчёта в рассматриваемом опыте -мезоны будут «жить» в течение срока, в 15 раз превышающего их «собственное время жизни»— то, которое наблюдается в системе отсчёта ракеты, где они покоятся. В лаборатории те же мезоны летят с околосветовыми скоростями, и поэтому они смогут пролететь около 15 «характерных расстояний» (см. таблицу в тексте), т.е. приблизительно 80 м, прежде чем их количество в пучке вследствие распада снизится вдвое по сравнению с первоначальным.