Физика пространства - времени
Шрифт:
Согласно условию задачи, x'=0, а t'/=0. Расстояние между двумя событиями в лабораторной системе отсчёта можно вычислить по формуле преобразования Лоренца
x
=
0
+
t'
sh
r
.
От нас требуется «измерить» время, прошедшее между этими событиями в лабораторной системе, разделив полученное выше расстояние на скорость движения обеих систем друг относительно друга:
t
=
x
r
=
x
th r
=
t'
ch
r
Это
15. Формулы преобразования Лоренца со временем в секундах
Просто подставим в формулы (37) t=tсек/c и r=vr/c. Обратные преобразования [(36) или (16)] примут тогда вид
x
=
x'
ch
r
+
ct
сек
'
sh
r
x'+vr tсек'
1-(vr/c)^2
,
t
сек
'
+
v
r
x'
t
сек
=
x'
sh
r
+
t
сек
'
ch
r
=
c^2
,
c
1-(v
r
/c)^2
16. Вывод формул преобразования Лоренца
Из первого предположения следует условие a+b=e+f, из второго — условие b-a=e-f, а третье предположение даёт r=b/f. В совокупности из полученных трёх условий найдём f/a=1, b/a=e/a=r. Подставляя эти значения коэффициентов в исходные формулы для x и t, запишите условие инвариантности интервала. Отсюда следует a=(1-r^2)^1/^2. Полученные формулы преобразования совпадают с (16).
17. Собственная длина и собственное время
а) Направьте ось x' вдоль линии, соединяющей рассматриваемые события в лабораторной системе отсчёта. Сделайте предположение, что существует такая система отсчёта ракеты, в которой оба события происходят одновременно. Тогда преобразование Лоренца даёт
t'
=
0
=-
x
sh
r
+
t
ch
r
,
откуда
sh r
ch r
=
th
r
=
r
=
t
x
<
1.
Так как отношение t/x меньше единицы, относительная скорость наших систем также меньше единицы, что подтверждает правильность предположения о существовании данной системы отсчёта ракеты. Из факта инвариантности интервала следует
(
x)^2
–
(
t)^2
=
(
x')^2
–
0^2
=
(
)^2
,
так что расстояние между событиями в системе отсчёта ракеты равно собственному расстоянию между этими событиями.
б) Снова направьте ось x вдоль линии, соединяющей рассматриваемые события в лабораторной системе отсчёта. Сделайте теперь предположение. что существует такая система отсчёта ракеты, в которой оба события происходят в одном и том же месте. Тогда
x'
=
0
=
x
ch
r
–
t
sh
r
,
откуда
th
r
=
r
=
x
t
<
1,
что подтверждает правильность предположения о существовании данной системы отсчёта ракеты. Заметьте, что отношение x/t есть просто та скорость, какой должен обладать в лабораторной системе наблюдатель на ракете, переносящийся от события к событию. Часть а) этого упражнения не содержит такой возможности. Из факта инвариантности интервала следует
(
t)^2
–
(
x)^2
=
(
t')^2
–
0^2
=
(
)^2
,
так что промежуток времени между этими событиями в данной системе отсчёта ракеты равен интервалу собственного времени между ними.
18. Плоскость обоюдного согласия
Эту задачу можно решить двумя способами: во-первых, путём краткого рассуждения и, во-вторых, путём длинных математических преобразований (!). Рассуждения сводятся к следующему. Плоскость, на которой показания часов лаборатории и ракеты совпадают, должна быть перпендикулярна направлению относительного движения этих систем отсчёта, так как видеть сразу и лабораторные, и ракетные часы синхронизированными друг с другом можно лишь в такой плоскости [см. часть б) упражнения 11]. Однако лабораторная система отсчёта и система ракеты во всех отношениях взаимно равнозначны. Поэтому скорость «плоскости согласия» должна быть одинакова как с точки зрения системы отсчёта ракеты, так и с точки зрения лабораторной системы (разным может быть лишь её направление). Какая промежуточная скорость будет сохранять своё численное значение при переходе от первой системы отсчёта ко второй? Во всяком случае, не /2. Предмет, движущийся в лабораторной системе со скоростью /2, будет обладать в системе отсчёта ракеты скоростью, не равной– /2 (ведь скорости не просто складываются). Однако предмет, движущийся в лабораторной системе так, что его параметр скорости равен r/2, будет обладать в системе отсчёта ракеты параметром скорости - r/2 (параметры скорости аддитивны). Поэтому скорость движения «плоскости согласия» должна быть равна в лабораторной системе отсчёта =th 1/2 r, если, конечно, такая плоскость существует.
Математические преобразования, дающие тот же результат, состоят в следующем. Положите в преобразованиях Лоренца (36) t=t'. Исключите затем из них x и найдите, чему равно отношение x/t — скорость движения плоскости, на которой времена одинаковы. Вы получите (см. табл. 8):
2
sh^2
r
x
=
ch
r
– 1
=
2
=
th
r
.
t
sh
r
2
sh
r
sh
r
2
2
2
19. Преобразование углов
Обозначим через x' проекцию метрового стержня на ось x' в системе отсчёта ракеты, а через y' — аналогичную проекцию на ось y'. Значит, тангенс угла ' равен tg '=x'/y'. В лабораторной системе отсчёта y-проекция будет оставаться равной прежней y-проекции в системе ракеты, но xпроекция подвергнется лоренцеву сокращению, согласно выводам упражнения 9. Мы получим