Физика пространства - времени
Шрифт:
y
=
y'
,
где
y
=
(1
м
)
sin '
,
и
x
=
x'
1-
r
^2
,
где
x'
=
(1
м
)
cos '
,
Отсюда легко вычислить величину тангенса искомого угла в лабораторной системе отсчёта
tg
=
y
x
=
tg '
1-r^2
.
Длина
L
=
(
x)^2+(
y)^2
.
Подставляя сюда полученные выше значения x и y, найдём
L
=
1-
r
^2
cos^2'
м
.
Рис. 142. Электрические силовые линии заряженной частицы в системе отсчёта ракеты.
Рис. 143. Электрические силовые линии заряженной частицы в лабораторной системе отсчёта.
Мысленно заменяя электрические силовые линии метровыми стержнями, можно выяснить, как выглядит электрическое поле вблизи заряженной частицы, покоящейся в системе отсчёта ракеты (на рис. 142 изображена картина, наблюдаемая в системе ракеты, а на рис. 143 — картина, наблюдаемая в лабораторной системе отсчёта). Мы считаем, что электрическая сила, действующая на пробный заряд, покоящийся в лабораторной системе отсчёта, пропорциональна плотности электрических силовых линий в том месте, где он находится. Следовательно, на пробные заряды, расположенные вдоль пути движения быстрой заряженной частицы (например, в точке A на рис. 143), будет действовать сила, меньшая, чем если бы частица покоилась. В свою очередь на пробные заряды, расположенные в стороне от пути движения быстрой заряженной частицы, будет действовать в момент их наибольшего сближения (например, в точке B на рис. 143) сила, превышающая ту, которая действовала бы, если бы частица — источник поля — покоилась. На этом и на подобных ему релятивистских эффектах основывается анализ электрического и магнитного полей в превосходной книге Парселла, выпущенной в издательстве Мак-Гроу Хилл.
20. Преобразование скорости вдоль оси y
Из условия задачи мы знаем, что для любой пары событий на мировой линии частицы x'=0. Тогда из формул преобразования Лоренца
y
=
y'
,
x
=
t'
sh
r
,
t
=
t'
ch
r
,
откуда можно вычислить компоненты скорости в лабораторной системе отсчёта:
y
=
y
t
=
y'
t' ch r
=
y'
ch r
,
x
=
x
t
=
th
r
.
21. Преобразование направлений скоростей
В системе отсчёта ракеты разности координат даются соотношениями
y'
=
'
sin '
·
t'
и
x'
=
'
cos '
·
t'
.
Найдём
значения смещений y и x в лабораторной системе отсчёта, пользуясь формулами преобразования Лоренца (42), откуда угол между вектором скорости частицы и направлением относительного движения в лабораторной системе отсчёта оказывается равен'
sin
'
tg
=
y
=
ch
r
.
x
' cos '+
r
Отличие полученного угла от угла, найденного в упражнении 19, вытекает из того, что теперь мы рассматривали преобразование скорости — величины, включающей время. В последнем уравнении угол стремится к нулю при r– >1, тогда как, напротив, в упражнении 19 мы нашли, что угол наклона метрового стержня по отношению к направлению относительного движения систем стремится к 90°, когда r– >1.
22. Эффект «прожектора» 1)
1) Здесь речь идёт о том пучке лучей, который испущен при единичной мгновенной вспышке. Если бы «прожектор» действовал непрерывно в течение всего времени, его луч, напротив, расширился бы вокруг оси, совпадающей с направлением движения (вперёд или назад—несущественно), концентрируясь с точки зрения неподвижного наблюдателя в перпендикулярном движению «прожектора» направлении (например, на летящем вместе с ним экране). См. в связи с этим упражнение 19. Я благодарен П. И. Филиппову, заметившему этот эффект и обратившему на него моё внимание.—Прим. перев.
В системе отсчёта ракеты проекция на ось x пути, пройденного светом вспышки, равна x'=cos '·t'.
Чтобы найти x и t в лабораторной системе отсчёта, воспользуемся формулами преобразования Лоренца (42). Скорость распространения света вспышки равна единице как в системе отсчёта ракеты, так и в лабораторной системе. Поэтому косинус угла между направлением луча и осью x в лабораторной системе даётся выражением
x
t
=
cos
=
cos '+r
r cos '+1
.
Это выражение совпадает с полученным в упражнении 21 в случае, когда '=1, как можно показать на основании тригонометрических тождеств. Лучи, распространяющиеся в переднее полушарие в системе отсчёта ракеты, обладают углами, меньшими, чем '=90°. Из только что полученного выражения следует величина максимального угла для таких лучей в лабораторной системе отсчёта: cos =r при '=90°.
Весь свет, испущенный лампой в её системе покоя в переднее полушарие, собирается в направленном вперёд конусе с таким углом раствора относительно направления движения лампы, если наблюдение проводится из лабораторной системы отсчёта.
23. Парадокс эйнштейновского поезда — подробный пример
Решение дано в тексте.
24. Загадка Эйнштейна
Да, он увидит себя в зеркале. В его системе отсчёта, как и в любой другой инерциальной системе, свет обладает одной и той же скоростью. Своё изображение в зеркале он будет видеть точно таким же, как и при любой другой постоянной скорости движения относительно земли.
25. Парадокс шеста и сарая