Квантовая механика и интегралы по траекториям

Детальный численный расчёт, основанный на этом приближении, был выполнен Шульцем [13]. С помощью счётной машины Шульц вычислил значения v и w, которые дают минимум E для различных значений ; он вычислил также энергию E и сравнил полученную величину со значениями, полученными в различных теориях. В частности, он вычислил собственное значение энергии в теориях Ли, Лоу и Пайнса [14] (E_llp), в теориях Ли и Пайнса [10] (E_lp), Гросса [15] (E_g), Пекара [16], Боголюбова [17] и Тябликова [18] (E_pbt).

В табл. 2, позаимствованной из работы Шульца [13], приведены результаты вычислений , v и w, а также значения энергий из теории Фейнмана (E_e) и других теорий. В этой таблице предполагается, что и h равны единице. Отметим, что для всех значений а величина энергии в теории Фейнмана меньше, чем во всех других теориях.

Таблица 2

3

5

7

9

11

v

 3,44

 4,02

 5,81

9,85

 15,5

w

 2,55

 2,13

 1,60

1,28

1,15

E

_e

– 3,1333

– 5,4401

– 8,1127

– 11,486

– 15,710

E

_lp

– 3,10

– 5,30

– 7,58

– 9,95

– 12,41

E

_g

– 3,09

– 5,24

– 7,43

– 9,65

– 11,88

E

_pbt

– 6,83

– 10,31

– 14,7

Глава 12

ДРУГИЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

В предыдущих главах мы видели, как применяются интегралы по траекториям для решения задач квантовой механики, которые по своей физической природе являются вероятностными задачами. Кроме того, мы пользовались этим методом для анализа некоторых проблем статистической механики, вероятностная природа которой делает метод интегралов по траекториям особенно эффективным. Можно расширить круг конкретных применений этого метода на широкий класс задач теории вероятностей.

Целью данной главы является рассмотрение нескольких таких задач. Эти задачи разбиваются на два типа. Во-первых, мы обсудим непосредственное приложение метода интегрирования по траекториям к классическим задачам теории вероятностей. Это отличает данную главу от предыдущих, где все применения относились к квантовой механике. Во-вторых, рассмотрим смешанные вероятностные и квантовомеханические задачи. Мы не можем в этой главе углубляться в детали и ограничимся только некоторыми примерами постановки отдельных задач, предоставляя читателю самостоятельно разобрать другие применения метода интегрирования по траекториям.

Основное достоинство метода интегрирования по траекториям состоит в том, что он непосредственно содержит представление о вероятности некоторой траектории или функции. Для пояснения этой мысли последовательно рассмотрим хорошо известные понятия теории вероятности в применении к дискретным и непрерывным переменным ²³).

²³ Предполагаем, что читатель знаком с основными понятиями обычной теории вероятностей (см. например, [19]).

§ 1. Случайные события

Для начала предположим, что перед нами стоит задача теории вероятности, в которой переменные принимают дискретные значения. Пусть в случайно выбранные моменты времени происходит ряд дискретных событий; это может быть, например, прохождение космических частиц через счётчик или падение дождевых капель на выделенную для наблюдений площадку. Хотя известно, что частицы появляются в случайные моменты времени, однако можно ожидать, что в течение любого достаточно длительного промежутка времени T будут наблюдаться n=T частиц. Таким образом, имеет смысл средней скорости счета.

Конечно, при любом реальном измерении точное число зарегистрированных частиц n, вообще говоря, не будет совпадать с их средним числом. Однако можно спросить, какова вероятность наблюдения некоторого числа n частиц за время, в течение которого в среднем появляются n частиц. Ответ даётся распределением Пуассона

P

_n

=

nⁿ

n!eⁿ

(12.1)

С другой стороны, можно интересоваться вероятностными вопросами иного типа. Например, какова вероятность того, что после появления предыдущей частицы следующая появится в момент t? На вопрос, сформулированный таким образом, не существует правильного ответа. Если же мы поинтересовались бы вероятностью того, что интервал между появлениями частиц будет равен или больше t, то ответ e^{– t} мог бы быть получен. Это значит, что можно определить лишь, находится ли момент t внутри некоторого временного интервала. Таким образом, если нас интересует конкретный момент t, то должны исходить из бесконечно малого интервала и формулировать вопрос следующим образом: какова (бесконечно малая) вероятность того, что промежуток времени между двумя событиями будет лежать внутри окрестности dt, окружающей момент t? Ответ записывается в виде

P(t)

dt

=

e

^{– t}

dt

.

(12.2)

Так приходим к понятию распределения вероятности для непрерывной переменной: P(t) есть отнесённая к единице измерения t вероятность того, что интервал между событиями равен t. Запишем распределение вероятности для x как P(x), если P(x)dx представляет вероятность того, что переменная находится в окрестности dx точки x. Можно легко распространить это определение на случай двух переменных и написать вероятность распределения x и y как P(x,y)dxdy. При этом мы подразумеваем, что вероятность найти переменные x и y в области R плоскости xy даётся интегралом

^R

P(x,y)dxdy

.

Хотелось бы расширить концепцию вероятности ещё дальше. Желательно рассматривать распределения не только отдельных переменных, но также и целых кривых, т.е. хотелось бы построить вероятностные функции, или, точнее, функционалы, которые позволят ответить на вопрос: какова вероятность какой-либо конкретной эволюции физического процесса, развивающегося во времени, например напряжения на вольтметре или цены на товар, или, в случае двух переменных, какова вероятность формы поверхности моря как функции широты и долготы? Все это приводит нас к необходимости рассмотреть вероятность некоторой функции.

Запишем это так. Вероятность наблюдения функции f(t) есть функционал P[f(t)]. При этом следует помнить, что вопросы относительно такой вероятности имеют смысл, только если определить интервал, внутри которого мы ищем определённую функцию. Так же, как в приведённом выше примере, мы должны были спросить: какова вероятность найти конец временного промежутка внутри интервала dt? Теперь аналогично следует спрашивать: какова вероятность найти функцию в пределах некоторого более или менее ограниченного класса функций (например, среди кривых, заключённых между точками a и b) в течение всего времени интересующего нас хода событий? Если мы назовём такую совокупность функций классом A и спросим, какова вероятность найти функцию f(t) в классе A, то ответ записывается в виде интеграла по траекториям