Квантовая механика и интегралы по траекториям

4C

w

.

(11.74)

Этот результат нормирован правильно, так как он справедлив в случае k=0. После подстановки выражения (11.73) в (11.63) получим интеграл по k от простой гауссовой функции, так что для A имеем

A

=

^{– 1/2}

v

w

⁰

w^2

–

v^2-w^2

v

(1-e

^{– v}

)

– 1/2

e

^{– w}

d

.

(11.75)

Чтобы найти B, нам нужно определить величину |r(t)-r(s)|^2. Её можно получить, разложив обе части выражения (11.73) в ряд по k с точностью до членов порядка k. Таким образом,

1

3

|r-r|^2

=

4C

v^3w

(1-e

^{– |-|}

)

+

w^2

v^2

|-|

.

(11.76)

Интеграл A теперь легко вычислить, и результат выражается в очень простом виде:

B

=

3C

vw

.

(11.77)

В итоге нам нужно получить энергию E', соответствующую действию S'. Эту величину проще всего найти дифференцированием обеих частей выражения (11.6) по C:

CdE'₀

dC

=

B

,

(11.78)

так что с учётом выражений (11.77) и (11.74) получаем после интегрирования

E'

₀

=

3

2

(v-w)

,

(11.79)

где мы учли, что E'₀=0 при C=0. Поскольку E'₀– B=(3/4v)(v-w)^2, то окончательно получим для энергии выражение

E

=

3

4v

(v-w)^2

–

A

,

(11.80)

где A задано соотношением (11.75). Величины v и w — два параметра, которые для получения минимума можно варьировать порознь.

К сожалению, интеграл A нельзя вычислить в квадратурах, так что окончательное определение E требует численного интегрирования. Однако существует возможность найти приближённые выражения в различных предельных случаях. Случай больших соответствует большим v. Выбор w=0 приводит к интегралу

A

=

^{– 1/2}

v

^1/2

⁰

e

^–

d

(1-e

^{– v}

)

^{– 1/2}

=

(1/v)

v ^1/2 ( 1/2 +1/v)

(11.81)

и E'₀=3v/4. Это эквивалентно тому, что в выражении (11.37) используется потенциал, который соответствует свободным гармоническим колебаниям. При больших v членом e^{– v} можно пренебречь, так что A=^{– 1/2} v ^1/2 . Для значений , меньших чем 5,8, и при w=0 выражение (11.80) не имеет минимума, только если не выполнено условие v=0, так что случай w=0 не даст единого выражения для всех значений . Несмотря на этот недостаток, результат (11.81) сравнительно прост и достаточно точен. При >6 фактически существенны только большие значения v и пригодна приближённая формула

A

=

v

1/2

1+

2 ln2

v

;

(11.82)

при v>4 эта формула выполняется с точностью до 1%. Однако, например, Фрёлих [9] рассматривает разрыв при =6 как серьёзный недостаток — недостаток, которого можно избежать в нашей теории. Мы сделаем это, выбрав w отличным от нуля.

Изучим выражение (11.80) при малых значениях и w/=0. Минимум будет иметь место, когда v близко к w. Поэтому положим v=(1+)w, считая малым, и разложим радикал в выражении (11.81). Это даст

A

=

v

w

1-

⁰

^{– 3/₂}

e

^–

(1-e

^{– w}

)

d

2 ^1/2

+…

,

(11.83)

интеграл равен

2

^{– 1}

[(1+w)

^1/2

– 1]

=

P

.

(11.84)

В этом приближении задача сводится к минимизированию выражения

E

=

3

4

w^2

– -(1-P)

,

(11.85)

получающегося с помощью подстановок из выражения (11.80); отсюда следует

=

2(1-P)

3w

.

(11.86)

Этот результат справедлив только при малых значениях , так как мы предположили, что мало. Окончательно

E

=

–

–

^2(1-P)^2

3w

.

(11.87)

Таким образом, наш метод даёт поправку даже для малых значений . Поправка будет минимальна при w=3, и в этом случае

E

=

–

–

^2

81

=

–

– 1,23

10

^2

.

(11.88)

Последнее выражение слабо зависит от w; например при w=1 коэффициент 1,23 уменьшается только до 0,98. Метод Ли и Пайнса [10] даёт в этом приближении точно такой же результат, что и выражение (11.88). Разложение по теории возмущений до членов второго порядка было сделано Хага [11], который показал, что истинное значение коэффициента при члене (/10)^2 должно быть 1,26, так что наш вариационный метод очень точен при малых .

Противоположный предел при больших значениях соответствует большим v и, как мы увидим, значениям w порядка единицы. Так как v>>w, то в первом приближении интеграл в выражении (11.75) переходит в формулу (11.81), асимптотику которой можно использовать без вычислений. Следующее приближение по w можно получить, разложив радикал в выражении (11.75), при условии w/v<<1. Кроме того, пренебрежимо малым оказывается член e^{– v}. В этом случае

E

=

3

4v

(v-w)^2

–

v

1/2

1+

2 ln2

v

–

w^2

2v

.

(11.89)

В рассматриваемом приближении больших v это выражение минимально при w=1 и v=(4^2/9)-(41n-1); тогда (см. [12])

E

=

–

3

– 3 ln2 -

3

4

=

– 0,1061^2

– 2,83

.

(11.90)

Эти приближения не определяют верхнего предела E, так как, к сожалению, последующие члены будут порядка 1/^2 и, по-видимому, являются положительными.