Квантовая механика и интегралы по траекториям

^{– (q/2)[k(t)]^2dt}

,

(12.25)

где обозначено

q

=

^–

d

.

Это эквивалентно распределению вероятности

P[f(t)]

=

e

^{– (q/2)[f(t)]^2dt}

.

(12.26)

Флуктуации, подобные тем, что мы сейчас рассматриваем, часто называют гауссовым шумом.

Характеристики функционалов вероятности, описывающих шумовые функции, последнее время широко обсуждались в теории связи, причём многие характеристики шумового спектра были определены и вычислены. Аналогичное рассмотрение проведём здесь и в следующем параграфе, где рассматриваются гауссовы шумы.

Покажем ещё на одном примере, как выводятся характеристические функционалы. Рассмотрим сигналы, которые приходят в случайные моменты времени и для которых задана характеристическая форма, например, в виде u(t), но различен масштабный весовой множитель, так что типичный сигнал запишется как au(t). Можно также допустить, что вес a может быть либо положительным, либо отрицательным. Пусть сигналы приходят в какие-то моменты времени t_j, а их веса принимают случайные положительные и отрицательные значения a_j. Тогда результирующая функция представляется выражением

f(t)

=

^j

a

_j

u(t-t

_j

)

.

(12.27)

Если отвлечься от случайной природы событий, то мы получим характеристический функционал, эквивалентный функционалу (12.16);

=

exp

i

^j

a

_j

k(t)

u(t-t

_j

)

dt

.

(12.28)

Если учесть теперь случайную природу весовых масштабных множителей сигналов и обозначить вероятность обнаружения весового множителя, соответствующего j-му сигналу, в интервале da_j через p(a_j)da_j, то характеристический функционал будет иметь вид

=

…

i

^j

a

_j

k(t)

u(t-t

_j

)

dt

x

x

p(a

₁

)da

₁

p(a

₂

)da

₂

…

.

(12.29)

Конечно, каждая из вероятностных функций для величин a_j обладает соответствующей ей характеристической функцией (или производящей функцией для моментов). Назовём эту функцию W[] и определим её равенством

W[]

=

e

^ia

p(a)da

.

(12.30)

Тогда выражение для можно записать в виде

=

^j

W

k(t)

u(t-t

_j

)

dt

.

(12.31)

Далее мы можем действовать как при выводе выражения (12.17) и допустить, что моменты появления сигналов случайно распределены по интервалу 0<=t<=T. Если мы предположим, что в этом интервале имеется точно n импульсов, то получим характеристический функционал

=

T

n

(12.32)

где

=

W

k(t)

u(t-s)

dt

ds

.

(12.33)

Если теперь, как и при выводе (12.18), предположить, что распределение числа сигналов во времени описывается функцией Пуассона, то выражение (12.32) надо умножить на nⁿe^{– n}/n!, где, как прежде, n=T — среднее число сигналов за время T. Суммируя по n, получаем

=

e

^{– (T-)}

=

exp

–

1-

W

k(t)

u(t-s)

dt

ds

.

(12.34)

В качестве конкретного примера использования полученного результата рассмотрим очень узкий сигнал. Более того, предположим, что его форму можно аппроксимировать -функцией, т.е. u(t)=(t). Тогда характеристический функционал

=

–

{1-W[k(s)]}

ds

.

(12.35)

Предположим далее, что весовые множители имеют гауссово распределение с нулевым средним значением и среднеквадратичным отклонением, равным ; другими словами, допустим, что эти множители имеют обычное нормальное распределение

p(a)da

=

1

2

e

^{– a^2/2^2}

da

.

(12.36)

В этом случае характеристическая функция

W[]

=

e

^{– ^2^2/2}

(12.37)

приводит к следующему выражению для :

[k(t)]

=

exp

–

(1-e

^{– (^2/2)[k(s)]^2}

)

ds

.

(12.38)

Итак, мы снова установили, что, выбирая исходные предположения, можно вывести соответствующий характеристический потенциал. На любой стадии вывода допустима обоснованная аппроксимация, сводящая функционал к квадратичному виду. Например, в только что описанном случае малая величина среднеквадратичного масштабного множителя соответствует слабым сигналам. Если к тому же среднее число сигналов, приходящихся на временной интервал, велико, то (12.38) достаточно хорошо аппроксимируется выражением

=

exp

–

^2

2

[k(t)]^2

dt

(12.39)

Такое распределение называется белым шумом.

§ 4. Гауссовы шумы

Распределения с гауссовым характеристическим функционалом встречаются во многих ситуациях; эти распределения мы теперь и рассмотрим.

Нам уже пришлось иметь дело с гауссовыми распределениями, т.е. с экспоненциальными функциями, содержащими в показателе квадраты функций, к которым относится данное распределение. Мы пришли к гауссовым функционалам, сохранив член второго порядка в разложении экспоненты, возникающей как следствие нашего предположения о справедливости распределения Пуассона для случайных событий. Нужно отметить, что некоторые физические процессы в силу своей природы действительно описываются такими функциональными распределениями. В обычной теории вероятностей нормальное, или гауссово, распределение описывает физические процессы, состоящие из большого числа независимых случайных событий. В этом состоит результат основной предельной теоремы теории вероятностей. Это относится и к вероятностным функционалам и проявляется в том, что во многих важных случаях исследование физических явлений приводит к гауссовым распределениям. Для дальнейшего использования напишем здесь самую общую форму гауссова характеристического функционала: